אומגה אחת
במתמטיקה ובפרט בתורת הקבוצות, ω1 (קרי: אומגה אחת) הוא הסודר הלא בן מניה הראשון.
באופן פורמלי, הוא מוגדר כקבוצת כל הסודרים בני המניה.
תכונות
- השערת הרצף קובעת שעוצמתו שווה לעוצמת הרצף. אם מניחים את שלילתה ואת אקסיומת הבחירה, מקבלים שעוצמתו קטנה ממש מעוצמת הרצף.
- ω1 הוא מונה עוקב, ומכאן שהוא רגולרי (הקופינליות שלו היא עצמו - אין בו סדרה לא חסומה ובת מניה).
- המרחב הטופולוגי ω1 הוא דוגמה למרחב שמקיים את אקסיומת המניה הראשונה אך לא את אקסיומת המניה השנייה. המרחב ω1+1 לא מקיים את אף אחת מהן, אך הוא עדיין קומפקטי. לעומת זאת, המרחב ω1 הוא לא קומפקטי אף על פי שהוא קומפקטי סדרתית. בכך הם משמשים לדוגמאות נגדיות רבות בטופולוגיה.
- קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של ω1 היא ω1+1.
שימושים
ניתן להשתמש ב-ω1 כדי לבנות את קבוצת כל הקבוצות המדידות לבג. עושים זאת באינדוקציה טרנספיניטית: מתחילים מהקבוצות הפתוחות והסגורות. עבור סודר עוקב α+1, לוקחים את האיחודים והחיתוכים בני המניה של הקבוצות שבנינו עבור α. עבור סודר גבולי, לוקחים איחוד על כל הקבוצות שנבנו לפני כן. עבור ω1, מתקבלות בדיוק כל הקבוצות המדידות לבג.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0
רישיון cc-by-sa 3.0
This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.