אידאל (אלגברת לי)

באלגברה מופשטת, אידאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי שלה הסגור לפעולה. האידאלים של אלגברת לי מקבילים לתת חבורות בתורת החבורות ולאידאלים של חוגים, ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.

הגדרה פורמלית

תהי ${\displaystyle L}$ אלגברת לי מעל שדה ${\displaystyle F}$. תת-מרחב וקטורי ${\displaystyle I}$ של ${\displaystyle L}$ נקרא אידאל אם מתקיים ${\displaystyle \forall x\in L,y\in I:[x,y]\in I}$, או בשקילות ${\displaystyle [I,L]\subseteq I}$. אם ${\displaystyle I}$ אידאל של ${\displaystyle L}$, מסמנים ${\displaystyle I\triangleleft L}$.

אלגברת לי נקראת פשוטה אם אין לה אידאלים לא טריוויאליים.

תכונות

• מרחב האפס והמרחב כולו הם אידאלים.
• המרכז של אלגברת לי הוא אידאל.
• ${\displaystyle [L,L]}$ אידאל של ${\displaystyle L}$.
• אם ${\displaystyle I,J}$ אידאלים של ${\displaystyle L}$ גם סכומם ${\displaystyle I+J=\{i+j:i\in I,j\in J\}}$ אידאל.

אלגברת המנה

באותו האופן בו בונים ממרחב מנה של מרחב וקטורי, או חוג מנה, אפשר לבנות גם אלגברת מנה של אלגברת לי באידאל נתון שלה.

פורמלית, המרחב מסומן על ידי ${\displaystyle L/I}$; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה ${\displaystyle [x+I,y+I]=[x,y]+I}$, שמוגדרת היטב.

לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר הומומורפיזם אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את משפטי האיזומורפיזם, בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.

ראו גם

• אידאל (אלגברה)
• חוג מנה

לקריאה נוספת