אלגברת קווטרניונים

במתמטיקה, אלגברת קווטרניונים היא אלגברה פשוטה שהממד שלה מעל המרכז (שהוא בהכרח שדה, נאמר F) הוא 4. סוג זה של אלגברה הוא הדוגמה מן הממד הקטן ביותר האפשרי לחוג פשוט או לחוג עם חילוק, שאינו שדה. את אלגברת הקווטרניונים הראשונה גילה המילטון ב-1843, והיא נקראת על שמו, אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

דוגמה אחת לאלגברת קווטרניונים היא אלגברת המטריצות ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{2}(F)}$. זוהי אלגברת הקווטרניונים היחידה שיש בה מחלקי אפס, וכל אלגברת קווטרניונים אחרת היא חוג עם חילוק.

הרחבת סקלרים ושדות פיצול

אם Q אלגברת קווטרניונים שמרכזה השדה F, ו- ${\displaystyle \ F\subseteq K}$ הרחבת שדות, אז המכפלה הטנזורית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ Q\otimes _{F}K} היא אלגברת קווטרניונים שמרכזה K. בפרט, אם המכפלה היא אלגברת המטריצות מעל K, אז K נקרא שדה פיצול של האלגברה. אלגברה פשוטה (מממד סופי) מעל שדה סגור אלגברית מוכרחה להיות אלגברת מטריצות, ולכן הסגור האלגברי של F מפצל כל אלגברת קווטרניונים מעליה.

תת-שדות

כל איבר שאינו מרכזי באלגברת קווטרניונים Q יוצר תת-אלגברה מממד 2; אם Q חוג עם חילוק, תת-אלגברה זו היא בהכרח שדה. בין תת-השדות יש לאלגברה גם תת-שדות ספרביליים מעל המרכז (זוהי מסקנה של משפט קטה (Koethe), שהוכחתו עבור קווטרניונים קלה במיוחד). כל תת-שדה המכיל את המרכז הוא בהכרח תת-אלגברה מקסימלית. בפרט, כל תת-שדה K הוא המרַכז של עצמו.

הצגה על ידי יוצרים ויחסים

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subset K \subset Q} תת-שדה ספרבילי, אז יש אוטומורפיזם לא טריוויאלי ${\displaystyle \ \sigma }$ של K מעל F. אם המאפיין של F שונה מ-2, יש ב- K איבר x המקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(x) = -x} , ואז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ 0\neq a=x^{2}\in F} ; אם המאפיין הוא 2, אז יש איבר המקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(x) = x+1} , ואז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = x^2 - x \in F} .

לפי משפט סקולם-נתר, יש איבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y\in Q} שהצמדה בו משרה את ${\displaystyle \ \sigma }$, היינו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y k y^{-1} = \sigma(k)} לכל ${\displaystyle \ k\in K}$. במאפיין שונה מ-2, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ yx = -xy} , ובמאפיין 2 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ yx = xy+y} . מכיוון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \neq b = y^2} מתחלף עם K ועם y, b הוא איבר מרכזי.

פירושו של דבר שבמאפיין שאינו 2 עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ Q=F[x,y\,|\,x^{2}=a,\,y^{2}=b,\,yx=-xy]} ; יוצרים ויחסים אלה מציגים אלגברת קווטרניונים לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \neq a,b \in F} , ומסמנים את האלגברה בקיצור בסימון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b)_{2,F}} או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{a,b}{F}\right)_2} , ולפעמים סתם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b)} .

במאפיין 2, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Q = F[x,y\,|\,x^2-x = a,\,y^2 = b,\,yx = xy+y]} ; גם כאן זוהי אלגברת קווטרניונים לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,b \in F} עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b \neq 0} ; את האלגברה הזו מסמנים בסימון ${\displaystyle \ [a,b)}$.