אלגוריתם אוקלידס

אלגוריתם אוקלידס (באנגלית: Euclidean algorithm או Euclid's algorithm) הוא אלגוריתם אריתמטי המאפשר למצוא באופן יעיל, בהינתן שני מספרים טבעיים, את המחלק המשותף המקסימלי (GCD) שלהם.

התיעוד הקדום ביותר של האלגוריתם הוא בספר יסודות של אוקלידס, בסביבות שנת 300 לפני הספירה. זהו אחד האלגוריתמים העתיקים ביותר הנמצאים בשימוש היום.

האלגוריתם הוא אחד מהכלים המרכזיים בתורת המספרים ויש לו שימושים רבים, לדוגמה בצופן RSA.

רקע

המחלק המשותף המקסימלי של מספרים, המסומן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gcd(a,b)} או בקיצור ${\displaystyle (a,b)}$ , היא פעולה המקבלת שני מספרים טבעיים, ומחזירה את המספר הגדול ביותר שמחלק את שניהם.

לדוגמה, המחלק המשותף המקסימלי של 36 ו-24 הוא 12, מאחר שהמספר מחלק את שניהם ואין מספר גדול יותר בעל תכונה זאת.

דרך אפשרית למציאת המחלק המשותף המקסימלי היא פירוק שני המספרים לגורמים ראשוניים, והכפלת הגורמים המשותפים. בדוגמה הנ"ל, הפירוק לראשוניים הוא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}36&=2^2\cdot3^2\\24&=2^3\cdot3\end{align}}

הגורמים המשותפים הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^2,3} ומכפלתם היא 12. דרך זו היא אינטואיטיבית, אך אינה שימושית עבור מספרים גדולים, כי פירוק לגורמים הוא פעולה מורכבת ואין שיטה פשוטה לחישובו.

אלגוריתם אוקלידס מאפשר את מציאת המחלק המשותף המקסימלי ללא פירוק לגורמים, בדרך פשוטה יחסית. למעשה, שיטות מתקדמות לפירוק לגורמים (למשל אלגוריתם נפת שדה מספרים) משתמשות באלגוריתם אוקלידס.

דרך פעולת האלגוריתם

האלגוריתם מבוסס על העיקרון הבא: הוספת כפולה של אחד המספרים למספר השני, אינה משנה את המחלק המשותף הגדול ביותר.

בניסוח מתמטי, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b,c,q} מספרים טבעיים אז מתקיים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b,c)=(b,c+qb)}

בתכונה זו ניתן להשתמש בכיוון ההפוך – במקום להגדיל את אחד המספרים, מקטינים אותו: לכל זוג מספרים ${\displaystyle a,b}$ כאשר ${\displaystyle a>b}$ , ניתן לחשב את השארית ${\displaystyle c}$ מחלוקת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , כך שמתקיים

${\displaystyle a=qb+c,b>c}$

מכאן מתקבל השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)=(b,c)} , שבו הוחלף המספר הגדול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} במספר ${\displaystyle c}$ קטן יותר משני המספרים המקוריים, בלי לשנות את המחלק המשותף. אפשר להמשיך בתהליך שוב ושוב עם מספרים קטנים יותר ויותר, עד שמגיעים לזוג שאחד המספרים בו הוא 0; עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,0)=a} , ולפיכך נמצא המחלק המשותף הגדול ביותר.

באופן רקורסיבי ניתן להגדיר את האלגוריתם בצורה הבאה: לחישוב ${\displaystyle (a,b)}$ כאשר ${\displaystyle a>b}$

1. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=0} התוצאה היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} .
2. אחרת, חלק את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ומצא את השארית ${\displaystyle c}$ ; התוצאה היא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (b,c)} (שאותה יש לחשב בעזרת אותו אלגוריתם עצמו).

באופן כללי, ניתן להשתמש באלגוריתם בכל חוג אוקלידי. כך לדוגמה ניתן להשתמש באלגוריתם כדי למצוא את המחלק המשותף המקסימלי של שני פולינומים מעל שדה.

דוגמה

הדגמה מונפשת של שימוש באלגוריתם אוקלידס לחישוב ${\displaystyle (1071,462)}$

נחשב את המחלק המשותף המקסימלי של 1071 ו-462, או (1071,462):

• 462 נכנס ב-1071 פעמיים, והשארית היא 147. לפיכך עלינו למצוא את (462,147).
• 147 נכנס ב-462 שלוש פעמים, והשארית היא 21. לפיכך עלינו למצוא את (147,21).
• 21 נכנס ב-147 7 פעמים בדיוק, כלומר בשארית 0. לפיכך עלינו למצוא את (21,0).
• מאחר שהמספר הקטן הוא 0, התשובה היא 21, וזו גם התשובה לשאלה המקורית.

לפתרון ניתן לתת משמעות גאומטרית כמודגם באיור: 21 הוא אורך הצלע של האריח הריבועי הגדול ביותר שמאפשר לרצף במדויק את המלבן שצלעותיו הן 1071 ו-462.

function gcd(a, b)
{
	if (b == 0)
    {
	    return a;
    }
	return gcd(b, a % b);
}

יעילות

מבחינת סיבוכיות זמן, האלגוריתם יעיל. מספר הפעולות הנדרשות לביצוע אינו עולה על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_\varphi(a)} (כאשר ${\displaystyle \varphi }$ יחס הזהב). על כן הסיבוכיות שלו היא לוגריתמית. ניתן להגיד שמספר הפעולות אינו עולה על פי-5 ממספר הספרות.

המקרה הגרוע ביותר (worst case) הוא כאשר מדובר בשני מספרי פיבונאצ'י עוקבים; זאת, כיוון שככל שהמנה המתקבלת בפעולות החילוק קטנה יותר, המספר קָטֵן פחות, ויש צורך ביותר פעולות. במספרי פיבונאצ'י כל המנות הן 1, ועל כן התהליך הוא הארוך ביותר. תכונה זו נתגלתה על ידי גבריאל לאמה.

אלגוריתם אוקלידס המורחב

אחת התכונות החשובות של המחלק המשותף המקסימלי היא שניתן להציג אותו בצורה הבאה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (A,B)=mA+nB} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n} שלמים.

ניתן לחשב את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n} בעזרת אלגוריתם אוקלידס בעזרת התכונה שאם כל פעם השתמשנו ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=c+qb} , אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=a-qb} .

לפיכך, אם אנחנו יודעים בשלב מסוים איך להציג את שני המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} בצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mA+nB} (ההתחלה פשוטה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=0,m=1} או להפך), ניתן להציב בביטוי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=a-qb} ולהתקדם בשלבי האלגוריתם עד להצגה הרצויה.

לדוגמה, נמצא בדוגמה לעיל את ההצגה של 10 כ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100n+230m}  :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} 230=0\cdot100+1\cdot230\\ 100=1\cdot100+0\cdot230\\ 30=230-2\cdot100=-2\cdot100+1\cdot230\\ 10=100-3\cdot30=100-3\cdot(-2\cdot100+1\cdot230)=7\cdot100-3\cdot230 \end{align}}

לפיכך: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=7,m=-3} .

מידת סיבוכיות האלגוריתם המורחב היא מאותו סדר גודל של הרגיל, מאחר שאין צורך לבצע איטרציות נוספות אלא רק חישובים בסיסיים.

הכללות

אף שאלגוריתם אוקלידס נועד למציאת ה-GCD של שני מספרים שלמים, ניתן להכלילו למספרים ממשיים, ואובייקטים מתמטיים אחרים כגון פולינומים, שלמים ריבועיים (quadratic integers) וקווטרניון הורוויץ (Hurwitz quaternion). במקרה האחרון, אלגוריתם אוקלידס משתמש להדגים את החשיבות הקריטית של מחלקים ייחודיים כלומר שמספרים אלו ניתנים לחלוקה למספרים שאינם ניתנים לחלוקה בעצמם (irreducible element), כמו מספרים ראשוניים. פקטוריזציה ייחודנית זו הכרחית להוכחות רבות בתורת המספרים.

ראו גם

• מחלק משותף מקסימלי

קישורים חיצוניים

• אלגוריתם אוקלידס, באתר MathWorld (באנגלית)
• מימוש האלגוריתם רקורסיבית בשפת C# או C או ++C
• מימוש האלגוריתם רקורסיבית ב-Python
• מימוש האלגוריתם רקורסיבית ב-JS