בעיית אפולוניוס

תרשים 1. בעיית אפולוניוס העשירית: בניית מעגל משיק לשלושה מעגלים נתונים (צבועים בשחור). פתרון אפשרי אחד בורוד.

תרשים 2. כל 8 הפתרונות לבעיה העשירית, מוצגים כ 4 זוגות לפי צבע. המעגלים הנתונים צבועים בשחור.

בגאומטריה אוקלידית, בעיית אפולוניוס או בעיית המגעים מוגדרת כבניית מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל . אפולוניוס מפרגה (בקירוב 262 לפנה"ס עד 190 לפנה"ס) פרסם את הבעיה המפורסמת בעבודתו Ἐπαφαί ("משיקיים") אך לא נתן לה את כל הפתרונות האפשריים; עבודה זו אבדה, אך דיווח על תוצאותיו נכתב על ידי פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 ושרד.

מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה. פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן. לעיתים בעיית אפולוניוס מתייחסת אליה בלבד. בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה.

האובייקטים יכולים לחתוך זה את זה, אך נהוג להתייחס למקרים בהם הם נפרדים זה מזה.

לבעיה העשירית יש שמונה פתרונות אפשריים (אחד מהם בתרשים 1). יש שמונה מעגלים אפשריים שמשיקים לשלושת המעגלים הנתונים (תרשים 2). כל מעגל מקיף תת-קבוצה שונה מתוך שלושת המעגלים וליתר המעגלים הוא משיק מבחוץ. ישנן 8 תתי קבוצות אפשריות בקבוצה בה העצמה היא 3, מאחר ש 8 = 2³.

עשרת הסוגים של בעיית אפולוניוס

מספר	קוד	אובייקטים נתונים	מספר פתרונות	דוגמה (פתרון בורוד, האובייקטים בשחור)
1	PPP	3 נקודות	1
2	LPP	ישר ו 2 נקודות	2
3	LLP	2 ישרים ונקודה	2
4	CPP	מעגל ו 2 נקודות	2
5	LLL	3 ישרים	4
6	CLP	מעגל ישר ונקודה	4
7	CCP	2 מעגלים ונקודה	4
8	CLL	מעגל ו 2 ישרים	8
9	CCL	2 מעגלים וישר	8
10	CCC	3 מעגלים (הבעיה הקלאסית)	8

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

• בעיית אפולוניוס, באתר MathWorld (באנגלית)