דטרמיננטת דודונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'ן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי F, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם ${\displaystyle \ \operatorname {GL} _{n}(F)\rightarrow F^{\times }}$ מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של F. אם D חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם R חוג מקומי (בפרט: אם R חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, ${\displaystyle \ \operatorname {det} \,{:}\,\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times }/[R^{\times },R^{\times }]}$, המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם ${\displaystyle \,A'}$ מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה ${\displaystyle \ A}$, אז ${\displaystyle \ \operatorname {det} (A')=\operatorname {det} (A)}$;
2. אם ${\displaystyle \,A'}$ מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה ${\displaystyle \ A}$ בקבוע a, אז ${\displaystyle \ \operatorname {det} (A')=a\operatorname {det} (A)}$;
3. ${\displaystyle \ \operatorname {det} (I)=1}$.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם R חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה לינארית.

מקורות