פונקציה דיפרנציאבילית

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב לינארי (דיפרנציאל).

פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד אינה אלא פונקציה גזירה. עם זאת, בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות: לפונקציה יכולה להיות נגזרת (שאינה אלא וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית

תהא ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ פונקציה ב־${\displaystyle n}$ משתנים. הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה ${\displaystyle x_{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})}$ אם אפשר לכתוב

${\displaystyle f(x_{1}^{0}+\Delta x_{1},\ldots ,x_{n}^{0}+\Delta x_{n})=f(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})+\sum _{i=1}^{n}{\bigl (}A_{i}+\alpha _{i}(x){\bigr )}\Delta x_{i}}$

עבור ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ קבועים, ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ פונקציות השואפות ל־0 כאשר ${\displaystyle \Delta x}$ שואף ל־0.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב־${\displaystyle n}$ משתנים, כשהמקדמים הם ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ . זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$) קטנות מאד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: ${\displaystyle A_{k}={\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x_{0})}$ .

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.