הטלה (מתמטיקה)

באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ אותו אפשר לרשום כ-${\displaystyle \ v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}}$ , אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור ${\displaystyle {\hat {x}}}$ תחזיר ${\displaystyle P_{x}v=v_{x}{\hat {x}}}$. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: ${\displaystyle \ P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}}}$ אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל ${\displaystyle \ P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}}$. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי ותהי${\displaystyle P:V\rightarrow V}$ העתקה לינארית. ${\displaystyle \ P}$ תיקרא הטלה על תת-מרחב של ${\displaystyle \ V}$ אם ${\displaystyle \ P^{2}=P}$. איבר באלגברה המקיים ${\displaystyle P^{2}=P}$ נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול אם נחלק את V לסכום ישר של תתי-מרחב ${\displaystyle V=U\oplus W}$, אזי לכל וקטור ${\displaystyle v\in V}$ קיימים ${\displaystyle u\in U}$ ו- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle w\in W} כך ש ${\displaystyle v=u+w}$. נאמר שההעתקה הלינארית ${\displaystyle E:V\to V}$ היא הטלה על ${\displaystyle W}$ אם היא מקיימת ${\displaystyle E(v)=w}$.

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי עם הטלות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle E_{1},E_{2},...,E_{k}} על תתי-המרחב ${\displaystyle W_{1},W_{2},...,W_{k}}$ בהתאמה אזי לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ מתקיים:

1. ${\displaystyle E_{i}^{2}=E_{i}}$
2. ${\displaystyle E_{i}E_{j}=0}$ לכל ${\displaystyle i\neq j}$
3. ${\displaystyle ImE_{i}=W_{i}}$
4. ${\displaystyle V=KerE_{i}\oplus ImE_{i}}$
5. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_i} ניתנת ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
6. יהי ${\displaystyle T:V\to V}$ העתקה לינארית, אזי תתי-המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_i} הינם תתי-מרחב שמורי T אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TE_i=E_iT} (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.