הלמה של גייל

במתמטיקה, הלמה של גייל היא למה העוסקת בפיזור כללי של נקודות על פני הספירה ה-n-ממדית. הלמה קובעת שלכל n ו-k טבעיים קיימת קבוצה בת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2k+n} נקודות על פני הספירה כך שכל המיספרה פתוחה בספירה מכילה לפחות k נקודות מהקבוצה. הלמה הוכחה על ידי דיוויד גייל (David Gale) ב-1956.

קל לראות שזוהי התוצאה הטובה ביותר שבגדר האפשר. לכל n נקודות בספירה יש מעגל גדול n-1 ממדי שעובר דרך כולן, והוא מחלק את הספירה לשתי המיספרות בנות k נקודות לכל היותר.

הוכחה

נוכיח טענה שקולה: קיימות קבוצה של נקודות ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}}$ ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+1}} כך שבכל חצי מרחב n+1 ממדי שמוגדר על ידי על-מישור העובר דרך הראשית (תת מרחב וקטורי ממעלה n) יש לפחות k נקודות מהקבוצה. אפשר לתרגם טענה זו ללמה של גייל על ידי הטלה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+1}} על ספירת היחידה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} באמצעות קרניים היוצאת מהראשית (דרך כל נקודה במרחב מעבירים קרן היוצאת מהראשית והנקודה מועתקת לנקודת החיתוך של הקרן עם הספירה).

נבנה את הנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{2k+n}} . נסתכל על עקום המומנטים ה-n ממדי משוכן בעל-מישור בגובה 1: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(t) = (1,t,t^2,\ldots,t^n)} . נגדיר: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{i}=(-1)^{i}\gamma (i)} (למעשה יכולנו לבחור כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2n+k} נקודות שונות על העקום). יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} על-מישור העובר דרך הראשית. אנו צריכים להוכיח שבכל צד שלו יש k נקודות לפחות.

החיתוך בין h לעל-מישור ${\displaystyle (1,t_{1},\ldots ,t_{n})}$ הוא על-מישור n-1 ממדי. על-מישור זה חותך את עקום המומנטים ב-n נקודות לכל היותר (ראו בערך עקום המומנטים). מכאן ש-h חותך את ${\displaystyle \gamma }$ ב-n נקודות לכל היותר. אם החיתוך לא מכיל בדיוק n נקודות מתוך ${\displaystyle A=\{\gamma (1),\ldots ,\gamma (2k+n)\}}$ נזיז את h כך שזה אכן יהיה. נעשה זאת כך: נתייחס אל נקודות החיתוך שכבר יש לנו עם A כציר ונסובב את h ביחס אליו עד ש-h יפגוש נקודה נוספת של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . נחזור על התהליך הזה שוב ושוב עד ש-h יחתוך את ${\displaystyle \gamma }$ בבדיוק n נקודות. מכיוון שבכל שלב שמרנו על נקודות החיתוך ולקחנו את האיבר הראשון של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} שפגשנו, בשום שלב לא העברנו נקודות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מצד אחד של h לצד השני. לכן מספר הנקודות בכל צד של העל מישור יכל רק לרדת. כמו כן מכיוון שיש n נקודות חיתוך, בהכרח ${\displaystyle \gamma }$ עובר מצד אחד של h לצד השני בכל נקודת חיתוך.

נסמן את קבוצת n הנקודות החיתוך ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{on}}} ואת קבוצת 2k נקודות A שלא נמצאות על h ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{off}}} . נצבע את נקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{off}}} באופן הבא: נקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(i)} תהיה שחורה אם i זוגי והנקודה נמצאת מימין ל-h, או אם i אי-זוגי והנקודה נמצאת משמאל ל-h. בהתאמה נקודה היא לבנה אם i זוגי והנקודה משמאל ל-h, או אם i אי-זוגי והנקודה מימין ל-h. נבחין כי שתי נקודות סמוכות ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{off}}} הן בצבעים שונים: אם בין ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\text{off}}}$ סמוכות יש מספר זוגי של נקודות מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{on}}} , אז הן באותו הצד ועם זוגיות שונה, ולכן צבעים שונים. ואם מפרידים ביניהן מספר אי-זוגי של נקודות מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\text{on}}} הן בצדדים שונים ומאותה זוגיות ולכן בצבעים שונים.

מכיוון שהצבע מתחלף בין שתי נקודות סמוכות, יש בדיוק k נקודות שחורות ובדיוק k נקודות לבנות. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(i)} נקודה שחורה, אז או שהיא מימן ל-h ו-i זוגי ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{i}=\gamma (i)} מימין ל-h. או שהיא משמאל ל-h ו-i אי-זוגי ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i=-\gamma(i)} מימין ל-h. קיבלנו שכל הנקודות השחורות מתאימות ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} מימין ל-h, ובאופן דומה כל הנקודות הלבנות מתאימות ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} משמאל ל-h, ולכן יש בדיוק k נקודות מבין ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}}$ בכל צד של h. נזכור שהזזנו את h באופן שהחסיר נקודות מהצדדים, ולכן יש לפחות k נקודות בכל צד של h המקורית.