הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה

תהי ${\displaystyle \ f(x)\geq 0}$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע ${\displaystyle \ A}$ ועבור ${\displaystyle \ x>x_{0}}$ את האי-שוויון הבא:

$${\displaystyle f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}$$

אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - ${\displaystyle \ f(x)\equiv 0}$.

הוכחה

ברור שמתקיים ${\displaystyle A\geq 0}$ כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

${\displaystyle \ f(x)-A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0}$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• ${\displaystyle \ g(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle \ g'(x)=f(x)}$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה ${\displaystyle \ e^{-Ax}}$ תתקבל המד"ר הבאה:

${\displaystyle \ e^{-Ax}g'(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x))'\leq 0}$

על ידי ביצוע אינטגרציה ${\displaystyle \ \int _{x_{0}}^{x}dt}$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

${\displaystyle \ e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0}$

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית (${\displaystyle \ e^{h(x)}\geq 0}$ לכל ${\displaystyle \ h(x)}$) ולכן המסקנה היא:

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0}$

ולפי ההנחה מתקיים: ${\displaystyle f(x)\leq A\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt\leq 0}$

אבל ההנחה היא גם כי ${\displaystyle \ f(x)\geq 0}$ ולכן בהכרח ${\displaystyle \ f(x)=0}$