הקומפקטיפיקציה החד נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה

יהא ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית ${\displaystyle \infty \notin X}$ ונגדיר ${\displaystyle Y=X\cup \left\{\infty \right\}}$. נגדיר טופולוגיה ${\displaystyle \tau _{Y}}$ על ${\displaystyle Y}$ - קבוצה ${\displaystyle U\subseteq Y}$ תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

1. ${\displaystyle U}$ הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-${\displaystyle X}$, כלומר ${\displaystyle U\in \tau _{X}}$.
2. ${\displaystyle \infty \in U}$ וגם ${\displaystyle Y\setminus U}$ היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה

נראה ש-${\displaystyle Y}$ הוא מרחב קומפקטי. יהא ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle Y}$. קיימת ${\displaystyle V_{0}\in {\mathcal {U}}}$ כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty \in V_0} , ומשום ש-${\displaystyle V_{0}\in \tau _{Y}}$ אזי ${\displaystyle Y\setminus V_{0}}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-${\displaystyle Y\setminus V_{0}}$ יש תת-כיסוי סופי ${\displaystyle \left\{V_{1},...,V_{n}\right\}}$, לכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{V_0, V_1,...,V_n\right\}} הוא כיסוי סופי של ${\displaystyle Y}$ ונקבל ש-${\displaystyle Y}$ קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של ${\displaystyle Y}$

ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש-${\displaystyle X}$ הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם ${\displaystyle Y}$ הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות ${\displaystyle x,y\in Y}$. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\in X} אזי משום ש-${\displaystyle X}$ הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-${\displaystyle X}$ וזרות ${\displaystyle U}$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in U} ו-${\displaystyle y\in V}$ ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-${\displaystyle X}$ היא קבוצה פתוחה ב-${\displaystyle Y}$. אחרת, ${\displaystyle x=\infty }$ או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\infty} ונניח בלי הגבלת הכלליות כי ${\displaystyle x=\infty }$. משום ש-${\displaystyle X}$ הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת ${\displaystyle V\in \tau _{X}}$ (ובפרט, ${\displaystyle V\in \tau _{Y}}$) כך ש-${\displaystyle y\in V}$ וש-${\displaystyle {\overline {V}}}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U:=Y\setminus \left\{ \overline{V} \right\}} היא קבוצה פתוחה ב-${\displaystyle Y}$. בנוסף, נשים לב כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\infty \in U} ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-${\displaystyle Y}$ וזרות כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in U} ו-${\displaystyle y\in V}$ ולכן נקבל ש-${\displaystyle Y}$ הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם

• הטלה סטריאוגרפית
• קומפקטיפיקציה
• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך