התפלגות בטא

פונקציית הצפיפות

עבור ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ ועבור הפרמטרים ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$, פונקציית הצפיפות של ההתפלגות מוגדרת כך:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma (z)}$ היא פונקציית גמא ו-B היא פונקציית בטא.

פונקציית הצפיפות המצטברת

פונקציית הצפיפות המצטברת מוגדרת על ידי הנוסחה:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\dfrac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}$

כאשר ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$ היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

התוחלת

התוחלת של ההתפלגות היא פונקציה של היחס β/α:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$

כאשר הפרמטרים שווים, התוחלת שווה ל-1/2, מה שאומר כי במקרה זה ההתפלגות היא סימטרית והתוחלת היא מרכז התפלגות.

השונות

השונות של ההתפלגות מוגדרת כך:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$

כאשר ${\displaystyle \alpha =\beta }$, השונות היא:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\alpha +1)}},}$