חוק טוריצ'לי

חוק טוריצ'לי, הידוע גם כעקרון טוריצ'לי, הוא עיקרון במכניקת הזורמים המתייחס למהירות הנוזל שזורם מבעד לפתח, ביחס לגובה הנוזל מעל הפתח.

חוק טוריצ'לי מתאר את מהירות היציאה של זרם מים, בהתבסס על הפרש הגובה בין קו המים העליון במכל, לבין המיקום של תחילת הזרם, בהנחה שאין התנגדות אוויר, צמיגות או התנגדות אחרת לזרימת המים. הדיאגרמה מראה מספר זרמים כאלו, מסודרים בצורה אנכית ויוצאים מן המאגר בצורה אופקית. במקרה זה, לזרמים היוצאים ישנה מעטפת (מושג שהוצג בידי טוריצ'ילי), שהיא בעצם קו שיורד בזווית של 45 מעלות מן הקו העליון של המים, מעל לזרמים. ככל שמקור הזרם עמוק יותר הזרם פוגש רחוק יותר את קו המעטפת, כאשר גובה המפגש כפול מעומק מקור הזרם. הגובה בו שני זרמים נפגשים הוא סכום העומקים של מקור הנביעה שלהם. כל זרם (אפילו אם אינו זורם בצורה אנכית) זורם בנתיב פרבולי, כאשר האנך לציר הסימטריה של הנתיב הוא קו המים העליון.

חוק טוריצ'לי קובע שמהירות הזרימה ${\displaystyle v}$ , של נוזל דרך חור עם קצוות מחודדים בתחתית של מכל המלא עד גובה ${\displaystyle h}$ , זהה למהירות בה גוף (במקרה זה, טיפת מים), צובר בעודו נופל באופן חופשי מגובה ${\displaystyle h}$ , כלומר ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$ כאשר ${\displaystyle g}$ תאוצת הכובד (N/KG 9.81 בקרבת פני כדור הארץ). ביטוי זה מתקבל כפתרון עבור ${\displaystyle v}$ בהשוואת האנרגיה הקינטית שהצטברה ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$  עם האנרגיה הפוטנציאלית שאבדה, ${\displaystyle mgh}$ . החוק התגלה (אם כי לא בצורתו זו), על ידי המדען האיטלקי אוונג'ליסטה טוריצ'לי בשנת 1643. מאוחר יותר הראו שזהו מקרה ספציפי של משוואת ברנולי.

נגזרת חוק טוריצ'לי ממשוואת ברנולי

משוואת ברנולי קובעת כי:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {P}{\rho }}={\text{constant}}}$

כאשר:

${\displaystyle \rho }$ צפיפות הנוזל.

${\displaystyle P}$ הלחץ.

${\displaystyle z}$ גובה הנוזל מעל מעל משטח יחוס מסוים.

${\displaystyle g}$ תאוצת הכובד (9.81 m/s^2).

${\displaystyle v}$ מהירות הזורם.

במקרה של ברנולי מגדירים ${\displaystyle z=0}$ בפתח יציאת הנוזל. על פני שטח הנוזל הלחץ ${\displaystyle P}$ שווה ללחץ האטמוספירי וכמו כן גם בפתח היציאה קיים לחץ אטמוספירי. כיוון שמניחים ששטח פני המכל גדול בהרבה משטח הפתח ניתן להניח כי מהירות ירידת פני השטח קטנה מאד ממהירות יציאת הנוזל ולכן שווה בקירוב ל-0. מהשוואה של המצבים נקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}gz+{\frac {P_{atm}}{\rho }}&={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {P_{atm}}{\rho }}\\\Rightarrow v^{2}&=2gz\\\Rightarrow v&={\sqrt {2gz}}\end{aligned}}}$  

הגדרנו מקודם ${\displaystyle z=h}$ כאשר ${\displaystyle h}$ עומק המים מעל לפתח וקיבלנו

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$

הוכחה ניסיונית

ניתן להדגים את חוק טוריצ'לי בעזרת ניסוי הפחית המחוררת (בדומה לתמונה למעלה). ניסוי זה מעוצב כדי להראות שבנוזל עם פני שטח פתוחים, הלחץ גובר עם העומק. הניסוי מורכב מצינור עם מספר חורים נפרדים ומשטח פתוח. תחילה שלושת החורים חסומים וממלאים את הפחית במים. כאשר המכל מתמלא, מורידים את החסימה מן החורים. ככל שהפתח ממוקם נמוך יותר בפחית כך הזרם עוצמתי יותר. כלומר, מהירות יציאת הנוזל גבוהה יותר ככל שהמיקום של החור נמוך יותר בפחית. בהתעלם מצמיגות ואובדני אנרגיה נוספים, אם החורים פונים בצורה אנכית מעלה, אז כל זרם יגיע לגובה של פני שטח הנוזל במכל.

שימוש בברנולי עבור חישוב הזמן לריקון מיכל

נתמקד במיכל שמכיל מים בגובה ${\displaystyle h}$ ומתרוקן דרך צינור אשר ממוקם בתחתית המיכל באופן חופשי. יהי ${\displaystyle h}$ גובה המים בכל זמן נתון, ותהי מהירות הנביעה ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}={\frac {dx}{dt}}}$ .

כעת, ${\displaystyle A\,dh=a\,dx}$ כאשר ${\displaystyle A,a}$ הם שטחי הפתחים במיכל ובצינור בהתאמה, ${\displaystyle dh}$ גובה הנוזל במיכל המתאים ל־${\displaystyle dx}$ בצינור אשר שניהם קטנים בזמן ${\displaystyle dt}$ . נפתח את המשוואה ונקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A\,dh}{a\,dt}}={\sqrt {2gh}}\\{\frac {A\,dh}{a{\sqrt {2gh}}}}=dt\\\int {\frac {A\,dh}{a{\sqrt {2gh}}}}=\int dt\\t={\frac {2A{\sqrt {h}}}{a{\sqrt {2g}}}}\\t={\frac {2A}{a{\sqrt {2g}}}}\left({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}}\right)\end{aligned}}}$ 

כאשר ${\displaystyle t}$ הזמן הדרוש לריקון המיכל בין שני הגבהים ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$.

לקריאה נוספת

• T. E. Faber (1995). Fluid Dynamics for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42969-2. 
• Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

• Water Flow from a Spouting Cylinder