הטופולוגיה הקו-סופית

בטופולוגיה, הטופולוגיה הקו-סופית (או טופולוגיית המשלימים הסופיים; באנגלית: Cofinite topology) מוגדרת על קבוצה X, כך שנוצר מרחב טופולוגי שבו הקבוצות הפתוחות הן הקבוצה הריקה וכל הקבוצות שמשלימותיהן סופיות. מכך נובע שהקבוצות הסגורות הן בדיוק הקבוצות הסופיות והמרחב עצמו.

פורמלית, ניתן להגדיר את הטופולוגיה כ:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing \ \lor \ |X\setminus A|<\infty \}}$

הטופולוגיה הזו נובעת באופן טבעי מטופולוגיית זריצקי.

תכונות

• כל תת-מרחב של הטופולוגיה הקו-סופית הוא גם קו-סופי.
• כל קבוצה פתוחה לא-ריקה במרחב, מכילה את כל המרחב פרט למספר סופי של נקודות. לכן:
  • המרחב קומפקטי וקומפקטי סדרתית.
  • כאשר קבוצת הבסיס X היא אינסופית, כל שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות במרחב חותכות זו את זו, כלומר אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות זרות. לכן מרחב טופולוגי המורכב מקבוצה אינסופית X וטופולוגיה קו-סופית אינו מרחב האוסדורף.
• הטופולוגיה הקו-סופית על מרחב X היא הטופולוגיה הגסה ביותר על מרחב זה המקיימת את אקסיומת ההפרדה ${\displaystyle T_{1}}$.
  • יתרה מזאת, טופולוגיה על X מקיימת את ${\displaystyle T_{1}}$ אם ורק אם היא מכילה את הטופולוגיה הקו-סופית.

ראו גם

• הטופולוגיה הקו-מנייתית