יריעת קאלאבי-יאו

הטלה תלת־ממדית של יריעת קאלאבי–יאו

בטופולוגיה, יריעת קאלאבי–יאו (Calabi Yau) היא יריעת קהלר קומפקטית שמחלקת Chern הראשונה שלה מתאפסת (מחלקת Chern ה־n־ית של מרחב X היא איבר מסוים בחבורת הקוהומולוגיה ${\displaystyle \ H^{2n}(X,\mathbb {Z} )}$ . כאן ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ מייצג את האלומה הקבועה המתאימה לחוג המספרים השלמים).

ב־1957 שיער המתמטיקאי אאוגניו קאלאבי שליריעות כאלה יש מטריקה שטוחה במובן של ריצ'י (Ricci flat metric). השערה זו הוכחה ב־1977 על ידי Shing-Tung Yau, ומכאן שמן של היריעות.

דוגמאות

יריעת קאלאבי-יאו היחידה (מבחינה טופולוגית) מממד 1 (ממד כיריעה מעל המרוכבים) היא הטורוס, כלומר העקום מגנוס 1. בממד 2 יש שתי דוגמאות: הטורוס מהממד המתאים, ומשטחי K3.

המיון של יריעות קאלאבי–יאו מממד 3 הוא בעיה פתוחה, שחשיבותה רבה בגלל הקשר לתורת המיתרים בפיזיקה תאורטית.

הקשר לתורת המיתרים

באחד המודלים המקובלים של תורת המיתרים, העולם הוא בעל עשרה ממדים. ממדים אלו כוללים את שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו, ממד הזמן, וששה ממדים 'מכורבלים', שהמבנה המדויק שלהם עדיין אינו ידוע. ב־1985 גילו P. Candelas, G. Horowitz, A. Strominger ואדוארד ויטן, שהתנאים לכך שאותם ממדים מכורבלים יתמכו בגרסה סופר־סימטרית של המודל הסטנדרטי, שקולים לכך שממדים אלה מהווים יריעת קאלאבי–יאו מממד 3 מעל המרוכבים (שממדה מעל הממשיים 6). בנוסף, הם הראו שקבועים יסודיים של המודל הסטנדרטי (כגון מסות של חלקיקים) ניתנים להמרה לפרמטרים מספריים, הקובעים את הגאומטריה של אותה יריעת קאלאבי–יאו.