כיסוי מאוזן (של משחק)

כיסוי מאוזן הוא מושג בתורת המשחקים השיתופיים.
הגדרה : יהי ${\displaystyle \!\,(N;v)}$ משחק בצורה קואליציונית, הכיסוי המאוזן של המשחק הוא המשחק ${\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})}$ כך ש-${\displaystyle {\hat {v}}(s)}$ הוא המינימלי המקיים ${\displaystyle v(s)\leq {\hat {v}}(s)}$ לכל s וכן שהמשחק ${\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})}$ הוא משחק מאוזן לחלוטין.

מושגים רלוונטיים והגדרה

• הליבה של משחק בצורה קואליציונית היא אוסף וקטורי התשלומים הסבירים קבוצתית (מתארים אפשרויות חלוקה של שווי הקואליציה שלא יעודדו תת-קבוצה של הקואליציה ליצור קואליציה משלהם).
• יהי ${\displaystyle \!\,(N;v)}$ משחק בצורה קואליציונית. תת-משחק שלו ${\displaystyle \!\,(T;v)}$ הוא המשחק בצורה קואליציונית שבו ${\displaystyle T\subseteq N}$ קבוצת שחקנים לא ריקה ו-${\displaystyle \!\,v}$ היא הפונקציה הקואליציונית המצומצמת לקואליציות המוכלות ב-${\displaystyle \!\,T}$
• משחק מאוזן הוא משחק שהליבה שלו אינה ריקה
• משחק מאוזן לחלוטין הוא משחק שהליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה

מתעוררת המוטיבציה לשאלה הבאה - בהינתן משחק שאינו מאוזן (ליבתו ריקה), מהו השינוי/כיסוי המינימלי שנוכל לבצע בפונקציה הקואליציונית ${\displaystyle \!\,v(S)}$ על מנת להפוך את המשחק למאוזן? או למאוזן לחלוטין?. שינוי/כיסוי זה מוגדר להיות הכיסוי המאוזן של המשחק

נוסחה לכיסוי המאוזן

תנאי כללי שהוא תנאי הכרחי ומספיק לאי-ריקות הליבה נוסח במשפט בונדרבה-שפלי.
מובא להלן תנאי בונדרבה-שפלי  : (ניתן לקרוא יותר בתוך הערך)

נסמן את אוסף הקואליציות הלא ריקות ב - ${\displaystyle D^{*}:=\left\{S\subseteq N:S\neq \emptyset \right\}}$. נסמן ב-${\displaystyle \;P\;}$ את אוסף כל המשקלות המאזנים חלש את ${\displaystyle \;D^{*}\;}$:

$${\displaystyle P=\left\{\delta =\left(\delta _{S}\right)_{S\in D^{*}}:\delta _{S}\geq 0\quad \forall S\in D^{*},\sum _{S\in D^{*}}{\delta _{S}{\chi ^{S}}}={\chi ^{N}}\right\}}$$

כאשר נשים לב כי ${\displaystyle \;\chi ^{S}}$ הוא וקטור החילה של הקואליציה ${\displaystyle \;S}$.

משפט בונדרבה-שפלי: תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק ${\displaystyle \;\left(N;v\right)\;}$ איננה ריקה הוא שלכל ${\displaystyle \;\delta \in P}$ מתקיים: ${\displaystyle \;\sum \limits _{S\in D*}{\delta _{S}v\left(S\right)\leq v\left(N\right)}\;}$.

תנאי בונדרבה-שפלי הרשום לעיל הוא אוסף של אי שיוויונים, ניתן לראות שאם נגדיל את שווי הקואליציה N דיה, אי השוויונים יתקיימו ונקבל משחק חדש ומאוזן שליבתו אינה ריקה.
ממשפט בונדרבה-שפלי ניתן לראות שלכל משחק ${\displaystyle \!\,(N;v)}$ ניתן להגדיר משחק ${\displaystyle \!\,(N;{\tilde {v}})}$ באופן הבא :

${\displaystyle {\tilde {v}}(S)={\begin{cases}v(S)&{\mbox{ S≠N }}\\\;Max\left\{\sum \limits _{S\in D*}{\delta _{S}v\left(S\right)}:\delta \in P\right\}&{\mbox{S=N}}\\\end{cases}}}$

קיבלנו אם כן משחק חדש ומאוזן אך זה אינו מבטיח שהמשחק מאוזן לחלוטין,
בשביל להבטיח שאי השוויונים יתקיימו לכל תתי המשחקים, נפעיל את אותו שיקול שהפעלנו לגבי הקואליציה N עבור כל קואליציה S,
ונקבל שעל מנת שהמשחק יהיה מאוזן לחלוטין השווי של כל קואליציה צריך להיות לפחות:

${\displaystyle \;{\hat {v}}(S)=Max\left\{\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}v\left(R\right):\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}\chi ^{R}}=\chi ^{S},\delta _{R}\geq 0,\forall R}\right\}\;}$

המשחק ${\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})}$ נקרא הכיסוי המאוזן של המשחק ${\displaystyle \!\,(N;v)}$

משפטים רלוונטיים ללא הוכחה

• למשחק ${\displaystyle \!\,(N;v)}$ בצורה קואליציונית ליבה לא ריקה אם ורק אם ${\displaystyle {\tilde {v}}(N)=v(N)}$
• משחק ${\displaystyle \!\,(N;v)}$ הינו מאוזן לחלוטין אם ורק אם ${\displaystyle {\hat {v}}(N)=v(N)}$ לכל קואליציה ${\displaystyle S\subseteq N}$כאשר הפונקציה ${\displaystyle {\hat {v}}}$ מוגדרת בהגדרה לעיל

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, ISBN 9654932946