קבוצה ניתנת למנייה רקורסיבית

בחישוביות, קבוצה בת מנייה נקראת ניתנת למנייה רקורסיבית (נל"ר) או כריעה חיובית (כריעה למחצה) אם קיים אלגוריתם שבהינתן קלט, עוצר אם האיבר הנקלט שייך לקבוצה זו, אחרת האלגוריתם לא עוצר כלל. לחלופין, קיים אלגוריתם שמייצר רשימה (ייתכן ואינסופית) של כלל האברים בקבוצה. קבוצת בעיות אלו מסומנת לרוב בסימון RE‏ (Recursively Enumerable)‏, מכיוון שקיים אלגוריתם המונה את אבריהם.

הגדרה

תת קבוצה S של המספרים הטבעיים היא נל"ר אם קיימת פונקציה ניתנת לחישוב

${\displaystyle f:\subseteq \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

כך ש-

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if}}\ x\in S\\{\mbox{does not halt}}&{\mbox{if}}\ x\notin S\end{matrix}}\right.}$

תכונות

• אם A ו-B הן נל"ר אז גם A ∩ B וגם A ∪ B הן נל"ר.
• קבוצה A והמשלים של A הן נל"ר אם"ם A היא קבוצה רקורסיבית.
• התמונה של קבוצה נל"ר תחת פונקציה ניתנת לחישוב היא גם קבוצה נל"ר.
• קבוצת הקבוצות הניתנות למנייה רקורסיבית מכילה ממש את קבוצת הקבוצות הרקורסיביות - בעיית העצירה היא דוגמה לקבוצה לא רקורסיבית הניתנת למנייה רקורסיבית.

דוגמאות

• כל קבוצה רקורסיבית היא נל"ר.
• שפה ניתנת למנייה רקורסיבית היא תת-קבוצה נל"ר בקבוצת כל המילים תחת אלפבית של שפה מסוימת.

כריעות שלילית

באופן שקול, ניתן להגדיר קבוצה כריעה למחצה (שלילית), עבורה קיים אלגוריתם שעוצר אם הקלט אינו שייך לקבוצה (אבל אולי לא עוצר עבור קלט בקבוצה). קבוצת כל הבעיות מסוג זה מסומנת לרוב על ידי co-RE (התחילית co מסמנת "משלים", complement).

ראו גם

• קבוצה רקורסיבית
• כריעות
• היררכיית חומסקי