מונה על-קומפקטי

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול.

הגדרה ותכונות מרכזיות

מונה ${\displaystyle \kappa }$ נקרא ${\displaystyle \lambda }$-על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי ${\displaystyle j\colon V\to M}$, כש-${\displaystyle M}$ מחלקה טרנזיטיבית של ${\displaystyle V}$, כך ש- ${\displaystyle {\mbox{crit}}(j)=\kappa }$, ${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$ ו-${\displaystyle {^{\lambda }}M\subseteq M}$. מונה על-קומפקטי הוא מונה ${\displaystyle \kappa }$ שהוא ${\displaystyle \lambda }$-על-קומפקטי לכל ${\displaystyle \lambda }$.

קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור ${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$, ${\displaystyle \kappa }$ הוא ${\displaystyle \lambda }$-על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )=\{A\subseteq \lambda \ \colon \ |A|<\kappa \}}$. מידה כזו היא על-מסנן ${\displaystyle U}$ על ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )}$ המקיים:

1. ${\displaystyle U}$ הוא ${\displaystyle \kappa }$-שלם: כלומר, ${\displaystyle U}$ סגור לחיתוך של פחות מ-${\displaystyle \kappa }$ קבוצות.
2. ${\displaystyle U}$ עדין: כלומר, לכל ${\displaystyle \alpha <\lambda }$, הקבוצה ${\displaystyle {\check {\alpha }}=\{A\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon \alpha \in A\}}$ שייכת ל-${\displaystyle U}$.
3. ${\displaystyle U}$ נורמלי: כלומר ${\displaystyle U}$ עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה ${\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\to \lambda }$, אם ${\displaystyle \{x\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon f(x)\in x\}\in U}$ אז קיימת קבוצה ${\displaystyle A\in U}$ עליה ${\displaystyle f}$ קבועה.

שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי ${\displaystyle j\colon V\to M}$ המעיד על כך ש-${\displaystyle \kappa }$ הוא ${\displaystyle \lambda }$-על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )}$ באופן הבא: ${\displaystyle U=\{A\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon j''\lambda \in j(A)\}}$. מנגד, אם ${\displaystyle U}$ מידה עדינה ונורמלית על ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )}$, אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש-${\displaystyle \kappa }$ הוא ${\displaystyle \lambda }$-על-קומפקטי.

אם ${\displaystyle \kappa }$ מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית).

למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי ${\displaystyle \kappa }$, אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי ${\displaystyle \kappa }$ הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת).

הקשר למונים קומפקטיים-חזקים

כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי.

השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון.

אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים.

כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.