מינור (אלגברה לינארית)

באלגברה לינארית, מינור של מטריצה ריבועית נתונה הוא המטריצה המתקבלת ממחיקת שורות ועמודות במספר שווה. את המטריצה המתקבלת ממחיקת השורה ה-${\displaystyle i}$ והעמודה ה-${\displaystyle j}$ ב-${\displaystyle A}$ , מסמנים ב-${\displaystyle A[i,j]}$ או ב-${\displaystyle A_{ij}}$ .

לעיתים מעדיפים להגדיר מינור דווקא כדטרמיננטה של מטריצה זו. למשל, עבור המטריצה

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\end{pmatrix}}}$

המינור ${\displaystyle A_{13}}$ שווה למטריצה ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0\\-1&9\end{pmatrix}}}$ או (לפי ההגדרה השנייה) שווה לסקלר ${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&0\\-1&9\end{vmatrix}}=27}$ .

אם השורות והעמודות הן בעלות אותם מספרים סידוריים, המינור הוא מינור ראשי, למשל עבור המטריצה ${\displaystyle A}$ לעיל, המינורים הראשיים (לפי ההגדרה הראשונה) שלה הם

${\displaystyle A_{11}={\begin{pmatrix}0&5\\9&11\end{pmatrix}},A_{22}={\begin{pmatrix}1&7\\-1&11\end{pmatrix}},A_{33}={\begin{pmatrix}1&4\\3&0\end{pmatrix}}}$

אחד השימושים העיקריים של מינורים הוא בנוסחת קרמר, המאפשרת לחשב את המטריצה ההפכית למטריצה נתונה, באופן הבא: ${\displaystyle (A^{-1})_{ij}={\frac {(-1)^{i+j}\det(A[j,i])}{\det(A)}}}$ ^{[דרושה הבהרה]} (נוסחה זו מתקבלת גם מן המשפט המרכזי עבור המטריצה המצורפת).

שימוש נוסף הוא שיטת חישוב לדטרמיננטה הנקראת "פיתוח לפי מינורים".

ראו גם

• דטרמיננטה
• מטריצה מצורפת