מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות H ו-K חבורה חדשה ${\displaystyle G=H\rtimes K}$.

הגדרה

יהיו H ו-K חבורות. נניח ש-K פועלת על H באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם ${\displaystyle \rho :K\to \mathrm {Aut} (H)}$ המתאים לכל איבר ב-K אוטומורפיזם על H. לשם קיצור נסמן ${\displaystyle (\rho (k))(h)={}^{k}h}$.

נגדיר פעולה על הקבוצה ${\displaystyle G=H\times K=\left\{(h,k)\ |\ h\in H,k\in K\right\}}$ באופן הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (h_1 , k_1) \cdot (h_2 , k_2) := (h_1 \cdot {}^{k_1}h_2 , k_1 k_2 )} .

זו חבורה מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G| = |H| \cdot |K|} (שכן יש יחידה ${\displaystyle 1_{G}=(1_{H},1_{K})}$ וכל איבר הפיך ${\displaystyle (h,k)^{-1}=({}^{k^{-1}}h^{-1},k^{-1})}$) שנסמנה ${\displaystyle G=H\rtimes K}$.

תכונות

• אם מזהים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H\cong \{(h,1)|h\in H\}} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \cong \{ (1,k) | k \in K} אזי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle H\cap K=1} ו-H תת-חבורה נורמלית של G.