מספר טרסקי

מספר טרסקי של חבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} הוא מדד מספרי למרחק של החבורה מתכונת האמנביליות, המכמת ומכליל את הפרדוקס של בנך-טרסקי. מספר טרסקי מוגדר כמספר הקטן ביותר של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה (ראו להלן). לחבורה סופית, ובאופן כללי יותר לחבורה קומפקטית, אין פירוקים פרדוקסליים. על-פי משפט טרסקי, לחבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} קיימת חלוקה פרדוקסלית אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} אינה אמנבילית; לכן מספר טרסקי הוא סופי אם ורק אם החבורה אינה אמנבלית.

הגדרה

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} חבורה. פירוק של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} לקבוצות זרות ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m},B_{1},\ldots ,B_{n}\subseteq G}$ נקרא פירוק פרדוקסלי אם יש אברים ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m},h_{1},\ldots ,h_{n}\in G}$ עבורם ${\displaystyle G=\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}g_{i}=\bigcup _{j=1}^{n}B_{j}h_{j}}$ .

אם ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} קיים פירוק פרדוקסלי, מספר טרסקי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal T(G)} מוגדר להיות המספר המינימלי של חלקים ${\displaystyle m+n}$ בחלוקה פרדוקסלית שלה. אם אין פירוק כזה, המספר מוגדר להיות אינסוף.

קיימת בספרות הגדרה נוספת של פירוק פרדוקסלי של חבורה. בהגדרה זו, מתווספת הדרישה כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1,\ldots,A_m,B_1,\ldots,B_n} יהוו חלוקה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} והדרישה שהאיחודים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup_{i=1}^mA_ig_i,\bigcup_{j=1}^nB_jh_j} יהיו איחודים זרים. השוני בהגדרה לא משפיע על הערך המספרי של מספר טרסקי, המוגדר בשני המקרים להיות המספר המינימלי של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה.

מספרי טרסקי של חבורות

מכיוון שהזזה של תת-קבוצה אמיתית אינה יכולה לכסות את החבורה, בכל חלוקה פרדוקסלית מספרי החלקים מקיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n\ge2} . לכן מספר טרסקי של חבורה הוא לכל הפחות ארבע.

ב-2013 הוכיח מרק ספיר כי קיימות חבורות בעלות מספרי טרסקי סופיים גדולים כרצוננו. יתר על כן, לכל ${\displaystyle n}$ גדול מספיק, קיימת חבורה בעלת מספר טרסקי בין ${\displaystyle n}$ ל־${\displaystyle 2n}$ . למרות זאת, המספרים היחידים המהווים בוודאות מספרי טרסקי של חבורות הם ${\displaystyle 4,5,6}$ .

חבורות חופשיות

תהי ${\displaystyle F=\langle a,b\rangle }$ חבורה חופשית מדרגה 2. לכל אות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\in\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}} נגדיר את הקבוצה ${\displaystyle X_{c}}$ להיות קבוצת כל המילים המצומצמות ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} הנגמרות ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . אזי ${\displaystyle X_{a},X_{a^{-1}},X_{b},X_{b^{-1}}}$ הן תת־קבוצות זרות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} . כמו כן ${\displaystyle F=X_{a}a^{-1}\cup X_{a^{-1}}=X_{b}b^{-1}\cup X_{b^{-1}}}$ . לכן מספר טרסקי של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} הוא לכל היותר 4. לפי האמור לעיל ${\displaystyle {\mathcal {T}}(F)=4}$ . מכאן נתן להסיק (בעזרת תכונה 1 למטה) כי אם לחבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} יש תת-חבורה חופשית לא אבלית אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)=4}$ . על פי משפט של ג'ונסון ודקר ההפך גם נכון: אם ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)=4}$ אז ל־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} יש תת-חבורה חופשית לא אבלית.

השערת וון ניומן-דיי, שהופרכה ב־1980 על ידי אולשנסקי, טענה כי כל חבורה לא-אמנבילית מכילה תת-חבורה חופשית לא-אבלית. במונחים של מספרי טרסקי, ההשערה טענה כי לא קיימות חבורות לא-אמנביליות בעלות מספר טרסקי 4. לכן, חבורות לא-אמנביליות בעלות מספרי טרסקי גדולים יכולות להיחשב דוגמאות נגדיות חזקות להשערה.

תכונות של מספרי טרסקי

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} חבורה.

1. אם ${\displaystyle H}$ היא תת-חבורה או תמונה הומומורפית של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\leq {\mathcal {T}}(H)}$ .
2. אם ${\displaystyle H\leq G}$ היא תת-חבורה מאינדקס סופי. אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(H)-2\leq [G:H]({\mathcal {T}}(G)-2)}$ .
3. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\triangleleft G} היא תת-חבורה נורמלית אמנבילית אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal T(G)=\mathcal T(G/H)} .
4. אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} חבורה מפותלת, אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq 6}$ .
5. באופן כללי יותר, אם כל תת-חבורה נוצרת-${\displaystyle k}$ של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} היא סופית, אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq 2k+4}$ .
6. אם כל תת-חבורה נוצרת-${\displaystyle k}$ של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} היא אמנבילית, אז ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq k+3}$ .

הכללה: פעולה של חבורה על קבוצה

ניתן להכליל את ההגדרות של חלוקה פרדוקסלית ומספר טרסקי למקרה של פעולת חבורה על קבוצה.

הגדרה: תהי ${\displaystyle G\curvearrowright X}$ פעולה של חבורה על קבוצה. נאמר כי ל-${\displaystyle G\curvearrowright X}$ קיימת חלוקה פרדוקסלית אם קיימים ${\displaystyle m,n}$ טבעיים, תת־קבוצות זרות ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m},B_{1},\ldots ,B_{n}\subset X}$ ואברים ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m},h_{1},\ldots ,h_{n}\in G}$ עבורם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^mg_iA_i=\bigcup_{j=1}^nh_jB_j} .

מספר טרסקי של הפעולה, המסומן ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G\curvearrowright X)}$ , הוא המספר המינימלי של חלקים ${\displaystyle m+n}$ המשתתפים בחלוקה פרדוקסלית שלה. כך, מספר טרסקי של חבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} הוא למעשה מספר טרסקי של הפעולה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} על עצמה באמצעות כפל מימין.

אם ${\displaystyle G\curvearrowright X}$ והמייצב של כל ${\displaystyle x\in X}$ הוא אמנבילי, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal T(G\curvearrowright X)=\mathcal T(G)} .

בשנת 2014, הוכיחה גילי גולן שכל מספר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\ge4} הוא מספר טרסקי של פעולה טרנזיטיבית נאמנה של חבורה חופשית לא אבלית.

ראו גם

• הפרדוקס של בנך-טרסקי

קישורים חיצוניים

מספרי טרסקי של חבורות - הרצאה מאת מרק ספיר (באנגלית)