זוג ז'ורדן

באלגברה, זוג ז'ורדן הוא מבנה אלגברי המכליל את אלגברות ז'ורדן.

המערכת מוגדרת מעל שדה ממאפיין שאינו 2 או 3, וכוללת שני מרחבים וקטוריים, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^+,V^-} , וזוג פעולות תלת-מקומיות טרילינאריות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^\pm\times V^\mp\times V^\pm\rightarrow V^\pm} (אותן מקובל לסמן בסימון המשותף עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y,z)\mapsto \{xyz\}} ), המקיימות את אקסיומת הקומוטטיביות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyz\}=\{zyx\}} ואת האקסיומה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xy\{uvz\}\}-\{uv\{xyz\}\} = \{\{xyu\}vz\}-\{u\{vxy\}z\}} .

דוגמאות

מערכות ז'ורדן משולשות

המקרה המיוחד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^+=V^-} נקרא מערכת ז'ורדן משולשת. במערכת ז'ורדן משולשת מוגדרת אינוולוציה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (x,y)\mapsto (y,x)} , כך שמערכת ז'ורדן משולשת היא, בסופו של דבר, זוג ז'ורדן עם אינוולוציה. עם זאת, יש גם זוגות ז'ורדן ללא אינוולוציה (שבהם ממדי שני הרכיבים שונים זה מזה).

כל אלגברת ז'ורדן J מגדירה מערכת ז'ורדן משולשת $\ V(J)=(J,J)$ , עם הפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyz\}=(x\bullet y)\bullet z + (z \bullet y) \bullet x - y \bullet(x \bullet z)} . מצד שני, בכל זוג ז'ורדן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (V^+,V^-)} ולכל איבר $\ a$ באחד המרכיבים, הפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \bullet y = \{x a y\}} הופכת את המרכיב השני לאלגברת ז'ורדן.

אלגברות מדורגות

אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ R=R_{-1}+R_{0}+R_{1}} היא אלגברה (אסוציאטיבית) מדורגת, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(R) = (R_{-1},R_1)} הוא זוג ז'ורדן, ביחס לפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyx\}=xyx} . אם R אלגברה (מדורגת) פשוטה לא טריוויאלית (היינו, אחד המרכיבים הקיצוניים אינו 0), אז גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(R)} זוג ז'ורדן פשוט.

בניה דומה קיימת עבור אלגברות לי מדורגות $\ L=L_{-1}+L_{0}+L_{1}$ , שם אפשר להגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyz\}=[[x,y],z]} . זוגות ז'ורדן כאלה מאפשרים להכליל את הבניה של Tits-Kantor-Koecher, העומדת ביסודו של ריבוע הקסם של פרוידנטל. אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ V=(V^{+},V^{-})} הוא זוג ז'ורדן, ו-H אלגברה של נגזרות של הזוג המכילה את כל הנגזרות הפנימיות, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K_H(V)=V^++H+V^-} היא אלגברת לי מדורגת, ויש התאמה מלאה בין אלגברות לי מדורגות שבהן המרכיב האמצעי פועל בנאמנות על סכום שני האחרים, לבין זוגות ז'ורדן עם אלגברת נגזרות כנ"ל. בניה זו, ודומות לה, הן שאיפשרו לחקור את אלגברות לי הפשוטות בכלים מתחום התורה של אלגברות ז'ורדן והכללותיהן.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.