משוואות סטוקס

בתורת הזורמים, זרימה זוחלת או זרימת סטוקס היא זרימה בה השפעת איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ( $Re<<1$ ). משוואות התנועה עבור זרימה זוחלת הן משוואות סטוקס.

הסבר: זרימות זוחלות

ניתן להגדיר זרימות זוחלות:

כאשר הצמיגות גבוהה מאוד
כאשר מימד האורך בבעיה קטן יחסית
המהירות איטית.

זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון, אך ישנן בטבע הרבה סוגי זרימות לדוגמה, עבור שחיה של מיקרו אורגניזמים, זרע, וזרימת לבה. בנוסף לכך בהנדסה, זרימה כזאת מתרחשת בצביעה, מכשירי MEMS וזרימה צמיגה של פולימרים. נציין שבשימושים הנדסיים ניתן להסתפק במספר ריינולדס גדול יותר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1<Re<3} .

חשוב לציין כי זרימת סיכה היא זרימה זוחלת בתוך תווך אשר לו כיוון אחד בעל גודל אופייני הקטן בסדר גודל משאר הכיוונים.

משוואות סטוקס

משוואות התנועה עבור זרימות זוחלות הן משוואות סטוקס. ניתן לקבל על ידי ביצוע לינאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד. ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbb{P} + \mathbf{f} = 0}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{P} } הוא טנזור מאמצים המייצג את הצמיגות והלחצים ו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbf{f}} הוא כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.

משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את החוק שימור המסה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 }

כאשר $\scriptstyle \rho$ הוא צפיפות הנוזל, $\scriptstyle \mathbf {u}$ היא מהירות הנוזל ועיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \frac{D}{Dt}} הנגזרת המלווה. על מנת לקבל את המשוואה עבור זורמים בלתי דחיסים, $\scriptstyle \rho$ קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה.

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 }

מאפיינים

משוואות סטוקס מייצוגת פישוט ניכר ממשוואות נאוויה סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטונים. בהם הסדר המוביל הוא הצמיגות עבור הגבול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Re \to 0.} .

תלות-בזמן

משוואות אלה אינן תלויות בזמן ולכן גם הפתרון לא יהיה תלוי בו אלא אם כן תנאי השפה הם תלויי זמן.

פרדוקס סטוקס

מאפיין מעניין של זרימת סטוקס הידוע בתור פרדוקס סטוקס: זרימת סטוקס של נוזל סביב דיסק בשני ממדים או באופן שקול פתרון טריוואלי של זרימת סטוקס סביב גליל אינסופי.

זרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטונים

באופן כללי המקרה של משוואת סטוקס של זורמים ניוטונים בלתי דחיסים בהצגה הווקטורית היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mu \nabla^2 \mathbf{u} -\boldsymbol{\nabla}p + \mathbf{f} &= 0 \\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{u}&=0 \end{align}}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {u}} , מייצג את המהירות של הזורם, $\scriptstyle {\boldsymbol {\nabla }}p$ את גראדיאנט הלחצים, $\scriptstyle \mu$ את הצמיגות, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbf{f}} מייצג את כוחות הגוף. התוצאה ממשוואה זו היא לינאריות המהירות והלחץ, ושמדובר ביתרון גדול מאוד עבור פותרי המשוואה.

קואורדינטות קרטזיות

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbf{u}=(u,v,w)} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbf{f} = (f_x, f_y, f_z)} נוכל לפתוח את הצורה הווקטורית של המשוואות לשלוש משוואות הבאות:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial x} + f_x &= 0 \\ \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial y} + f_y &= 0 \\ \mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial z} + f_z &= 0 \\ {\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} &= 0 \end{align}}

הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש $\scriptstyle \mathbb {P} ={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T})-p\mathbb {I}$ והצפיפות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} היא קבועה.

שיטות לפתרון

שימוש בפונקציית זרם

את המשוואה עבור זורמים ניוטונים בלתי דחיסים ניתן לפתור את המשוואה על ידי פונקציית זרם. מתודה שניתן להשתמש בה במישור או במרחב התלת ממדי.

סוג הפונקציה	גאומטריה	משוואה
פונקציית זרם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\psi)}	דו ממדי, מישורי	$\nabla ^{4}\psi =0$ או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^2 \psi = 0} (משוואה בי-הרמונית)
פונקציית הזרם של סטוקס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Psi)}	קואורדינטות כדוריות, 3 ממדי	$E^{2}\Psi =0,$ כאשר $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$
פונצקיית הזרם של סטוקס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Psi)}	3-D cylindrical	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_{-1}^2 \Psi = 0,} where עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_{-1} = \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \frac{\partial^2}{\partial \rho^2} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}}

שימוש בפונקציית גרין: הסטוקסלט

הלינאריזציה של משוואת סטוקס בזורמים ניוטונים בלתי דחיסים גורמת לכך שניתן למצוא את פונקציית גרין. ניתן למצוא את פונקציית גרין על ידי פתרון משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל במקור, ותנאי השפה נעלמים באינסוף.

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{\delta}(\mathbf{r})} הוא פונקציית דיראק, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}\cdot\delta(\mathbf{r})} מייצג את הכוח הנק' הפועל במקור. הפתרון עבור הלחץ p והמהירות u עם |u| וp שואף לאפס באינסוף וניתן על ידי

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}

כאשר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{J}(\mathbf{r}) = {1 \over 8 \pi \mu} \left( \frac{\mathbb{I}}{|\mathbf{r}|} + \frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3} \right)} הוא טנזור מסדר שני.

המינוח של פתרון הסטוקלט והכוח הנקודתי משמש לתיאור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}\cdot\mathbb{J}(\mathbf{r})} . ניתן להקביל זאת לאלקטרוסטטיקה, הסטוקלט הוא כוח חופשי בכל מקום חוץ מבמקור, אשר שם הוא כולל את הכוח (או המאמץ) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F}} .

עבור פילוג כוח (כוח מפורס) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{f}(\mathbf{r})} הפתרון הוא (שוב שואף לאפס באינסוף) יכול להמצא על ידי סופרפוזיציה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}(\mathbf{r}) = \int \mathbf{f}(\mathbf{r'}) \cdot \mathbb{J}(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) \mathrm{d}\mathbf{r'}, \qquad p(\mathbf{r}) = \int \frac{\mathbf{f}(\mathbf{r'})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{4 \pi |\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3} \, \mathrm{d}\mathbf{r'} }

האינטגרל מייצג את המהירות כפי שהיא יכולה להיות נצפית כהורדת סדר, כלומר משלושה ממדים לאינטגרל כפול (דו ממדי).

פתרונות נוספים

הפתרון של פפוביץ-ניבר (Papkovich–Neuber solution) הפתרון על ידי נומריקה

ביבליוגרפיה

Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

Video demonstration of time-reversibility of Stokes flow by UNM Physics and Astronomy

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.