משחק שוק

משחק שוק הוא דוגמה למשחק בצורה קואליציונית. המשחק הוא למעשה הסתכלות על מודל של שוק (שבו נמצאים מצרכים, צרכנים ויצרנים) בתור משחק בצורה קואליציונית.

המודל

אל השוק מגיעים קבוצת יצרנים ${\displaystyle \;N\;}$, ${\displaystyle \;N=\left\{1,2,...,n\right\}\;}$ שמטרתם היא, כמובן, להרוויח כמה שיותר כסף. בשוק נמכרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;L\;} מצרכים ${\displaystyle \;\left(L\in \mathbb {N} \right)\;}$.
כל יצרן מאופיין על ידי שני אלמנטים: (היצרן ה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;i\;} מאופיין על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;\left(a^{i},u^{i}\right)\;} )

• הכמות מכל מוצר אליה הוא מגיע אל השוק. כמות זו נקראת סל המצרכים ההתחלתי של היצרן. הכמות מכל מוצר מסומנת בוקטור ${\displaystyle \;a\in \mathbb {R} _{+}^{L}\;}$ כך שבקואורדינאטה ה ${\displaystyle \;j\;}$ רשום הכמות שיש ליצרן ממוצר ${\displaystyle \;j\;}$. (כל קואורדינאטה היא אי שלילית).

• האופן שבו הוא מסוגל להרוויח מתוך סל המוצרים שיש לו. זוהי פונקציית התועלת שלו מסל מצרכים כלשהו. פונקציה זו מקבלת וקטור כמויות של מצרכים ומחזירה את סכום הכסף שהיצרן יכול להרוויח באמצעות וקטור זה. פונקציה זו נקראת פונקציית היצור ומסומנת: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;u:\mathbb{R}_{+}^{L}\to \mathbb{R}\;} .

באופן פורמלי מודל השוק מוגדר על ידי קבוצת היצרנים, מספר המצרכים, והאפיון של כל יצרן: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\left( N;L;\left( a^{i},u^{i} \right)_{i\in N} \right)\;} .

במילים, שוק מוגדר על ידי קבוצת השחקנים ואפיונם (הם מגדירים את קבוצת המצרכים).

המשחק

במשחק היצרנים מתאגדים בקואליציה על ידי כך שהם מאחדים ביחד את סלי המצרכים של חברי הקואליציה ומחלקים מחדש את המצרכים כך שסך כל הרווח של הקואליציה יהיה מקסימלי.

לחברי קואליציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;S\;} יש וקטור מצרכים: ${\displaystyle \;\sum \limits _{i\in S}{a^{i}}\in \mathbb {R} _{+}^{L}\;}$, כל חלוקה אפשרית של המצרכים מסומנת ב: ${\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}\;}$. (נשים לב ש${\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}\;}$ הוא "וקטור של וקטורים").כך מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\sum\limits_{i\in S}{x^{i}}=\sum\limits_{i\in S}{a^{i}}\;} .
למשל אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;\sum \limits _{i\in S}{a^{i}}=\left(4,5,2,9,3\right)\;} וישנם 3 יצרנים. אזי חלוקה אפשרית היא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}={\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(2,4,1,0,0\right)\\&\left(1,\,\,1,1\,,7,2\right)\\&{\underline {\left(1,\,0,\,0,2,\,\,1\right)}}\\&\left(4,5,2,9,3\right)\\\end{aligned}}\\\end{matrix}}\;} . קבוצת כל החלוקות האפשריות עבור הקואליציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;S\;} מסומנת ב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X^{S}\;} .

משפטים

• משפט שפלי שוביק: הליבה של משחק שוק אינה ריקה.
• אם ${\displaystyle \;\left(N;v\right)\;}$ הוא משחק שוק אז כל תת-משחק שלו הוא משחק שוק ובפרט הליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה.
• כל משחק שוק הינו משחק מאוזן לחלוטין. (שפלי & שוביק)
• אם ${\displaystyle \;\left(N;v\right)\;}$ הוא משחק מאוזן לחלוטין אזי קיים שוק כך ש ${\displaystyle \;\left(N;v\right)\;}$ הוא משחק השוק המתאים לו.

ראו גם

• משחק שיתופי
• ליבה של משחק שיתופי
• מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, ISBN 9654932946