משפט ארדש-סקרש

הוכחה ראשונה

תהי ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},...,x_{ab+1}}$ סדרה של מספרים ממשיים שונים. נגדיר לכל ${\displaystyle \ i}$ את ${\displaystyle \ u_{i}}$ להיות אורך תת-הסדרה העולה הארוכה ביותר המתחילה ב${\displaystyle \ x_{i}}$, ובאופן דומה את ${\displaystyle \ d_{i}}$ להיות אורך תת-הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה ב${\displaystyle \ x_{i}}$.

למה: אם ${\displaystyle \ u_{i}=u_{j}}$ עבור ${\displaystyle \ i<j}$, אז ${\displaystyle \ x_{i}>x_{j}}$. באופן דומה אם ${\displaystyle \ d_{i}=d_{j}}$ עבור ${\displaystyle \ i<j}$ כך ${\displaystyle \ x_{i}<x_{j}}$.

הוכחה: אם ${\displaystyle \ u_{i}=u_{j}}$ ו${\displaystyle \ x_{i}<x_{j}}$, אז לכל תת-סדרה עולה שמתחילה ב${\displaystyle \ x_{j}}$ ניתן לצרף בתחילתה את ${\displaystyle \ x_{i}}$ ולקבל תת-סדרה עולה ארוכה יותר. מכאן ${\displaystyle \ u_{i}>u_{j}}$, בסתירה לנתון. באופן דומה ניתן לקבל את הלמה על ${\displaystyle d_{i}}$ ו- ${\displaystyle \ d_{j}}$.

כעת נעבור להוכחת המשפט עצמו. נניח בשלילה כי אין תת-סדרה עולה ממש באורך ${\displaystyle \ a+1}$ ואין תת-סדרה יורדת ממש באורך ${\displaystyle \ b+1}$. לכן לכל ${\displaystyle \ i}$ מתקיים ${\displaystyle \ u_{i}\leq a}$. כמו כן ${\displaystyle \ d_{i}\leq b}$, ולכן יש רק ${\displaystyle \ ab}$ אפשרויות לערכי הזוג הסדור ${\displaystyle \ (u_{i},d_{i})}$. לעומת זאת יש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ab + 1 } זוגות כנ"ל: ${\displaystyle \ (u_{1},d_{1}),(u_{2},d_{2}),...,(u_{ab+1},d_{ab+1})}$.

מעקרון שובך היונים קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 \le i < j \le ab +1 } כך ש ${\displaystyle \ (u_{i},d_{i})=(u_{j},d_{j})}$. כלומר ${\displaystyle \ u_{i}=u_{j}}$ וגם ${\displaystyle \ d_{i}=d_{j}}$. לכן מהלמה ${\displaystyle \ x_{i}>x_{j}}$ וגם ${\displaystyle \ x_{i}<x_{j}}$. סתירה.

הוכחה שנייה

תהי סדרה ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},...,x_{ab+1}}$ של מספרים ממשיים שונים.

ניקח את x₁, ואחריו את המספר הקרוב לו ביותר מימינו שקטן ממנו, וכן הלאה, עד שאי אפשר יותר. קיבלנו סדרה יורדת. לאחר מכן, ניקח את המספר השמאלי ביותר שעוד לא לקחנו ונבצע עליו את אותה הפעולה. קיבלנו שוב סדרה יורדת. נחזור על הפעולה שוב ושוב עד שהסדרה מתרוקנת. אם אחת מהסדרות שקיבלנו באורך ארוך יותר מ-b, מצאנו. אם לא, על פי עקרון דיריכלה יש לפחות a+1 סדרות כאלה. נשים לב שהמספר האחרון (הימני ביותר) בסדרה השנייה בהכרח גדול יותר מהאיבר האחרון בסדרה הראשונה (אחרת הוא בהכרח היה מופיע בסדרה הראשונה). אותו נימוק תקף לכל a+1 הסדרות, לכן אם ניקח את האיברים האחרונים שלהן, נקבל סדרה עולה כמבוקש.

יתרונה של ההוכחה השנייה היא שהיא קונסטרוקטיבית, כלומר מספקת אלגוריתם למציאת הסדרה ולא רק מוכיחה את קיומה.