משפט דבורצקי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורה של מרחבי בנך, משפט דבורצקי הוא משפט מבנה חשוב אשר הוכח על ידי המתמטיקאי הישראלי אריה דבורצקי בתחילת שנות ה-60 של המאה ה-20. המשפט ענה על שאלה שנוסחה על ידי אלכסנדר גרותנדיק. הוכחה חדשה למשפט, שהתגלתה על ידי ויטלי מילמן בשנות ה-70 של המאה ה-20, הייתה אחת התגליות אשר הביאו לפיתוח התורה הלוקלית של מרחבי בנך.

באופן פשטני, המשפט אומר כי לגופים קמורים מממד גבוה יש חתכים שהם כמעט מעגליים. בצורה מדויקת יותר, המשפט מראה כי לכל מספר טבעי k, בכל מרחב בנך שממדו גדול מספיק, יש תת-מרחב מממד k שהנורמה עליו קרובה מאד לכזו המושרית על ידי מכפלה פנימית. בכך המשפט מכניס לתורה של מרחבי בנך, שהנורמה המוגדרת עליהם יכולה להיות כללית ביותר, כלים מן התחום של מרחבי הילברט שבהם הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ויש לה מבנה גאומטרי הדוק.

ניסוח המשפט

לכל מספר טבעי $\,k\in \mathbb {N}$ , ולכל $\,\varepsilon >0$ , קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \in \mathbb{N}} , כך שאם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X, \| \cdot \|)} מרחב בנך מממד גדול או שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N} , אז קיים תת-מרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,E\subseteq X} מממד $\ k$ ומכפלה פנימית $\ Q$ על $\ E$ , כך שהנורמה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle | \cdot | = \sqrt{Q(\cdot)} } המושרית על ידי המכפלה הפנימית מקיימת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,x\in E} .

לקריאה נוספת

A. Dvoretzky, Some results on convex bodies and Banach spaces, 1961 Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960) pp. 123--160 Jerusalem Academic Press, Jerusalem; Pergamon, Oxford

V.D. Milman, A new proof of A. Dvoretzky's theorem on cross-sections of convex bodies (Russian), Funkcional. Anal. i Prilozhen. 5 (1971), no. 4, 28--37

T. Figiel, J. Lindenstrauss, J., V.D.Milman, The dimension of almost spherical sections of convex bodies, Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), no. 4, 575--578 .

Y. Gordon, Some inequalities for Gaussian processes and applications, Israel J. Math. 50 (1985), no. 4, 265–289.

Y. Gordon, Gaussian processes and almost spherical sections of convex bodies, Ann. Probab. 16 (1988), no. 1, 180--188

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.