משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)

למות

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה הולומורפית המוגדרת בקבוצה פתוחה ${\displaystyle D}$. תהי ${\displaystyle S=\{z\in D:f(z)=0\}}$ קבוצת האפסים של ${\displaystyle f}$. תהי ${\displaystyle S'}$ הקבוצה הנגזרת של ${\displaystyle S}$ ב-${\displaystyle D}$ (קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה ב-${\displaystyle D}$). שלוש הלמות הבאות מתקיימות באופן טריוויאלי אם ${\displaystyle S'}$ ריקה, ולכן נניח שאינה כזו.

• למה 1 - ${\displaystyle S'\subseteq S}$:

יהי ${\displaystyle a\in S'}$. a נקודת הצטברות של ${\displaystyle S}$ ולכן קיימת סדרה ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n}}$ כך שלכל n, ${\displaystyle a_{n}\in S}$, וכן ${\displaystyle a=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$. ${\displaystyle f}$ רציפה ולכן ${\displaystyle f(a)=\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=\lim _{n\to \infty }0=0}$. ומכאן ש-${\displaystyle a\in S}$.

• למה 2 - ${\displaystyle S'}$ קבוצה סגורה:

תהי ${\displaystyle a}$ נקודת הצטברות של ${\displaystyle S'}$. לפי למה 1 ${\displaystyle S'\subseteq S}$, ולכן a נקודת הצטברות של ${\displaystyle S}$, כלומר ${\displaystyle a\in S'}$. ${\displaystyle S'}$ מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה ולכן היא סגורה.

• למה 3 - ${\displaystyle S'}$ קבוצה פתוחה:

יהי ${\displaystyle a\in S'}$. עלינו להוכיח כי קיימת סביבה של a המוכלת ב-${\displaystyle S'}$. מההולומורפיות של ${\displaystyle f}$ ב-${\displaystyle D}$ נובע כי ניתן לפתח את ${\displaystyle f}$ לטור חזקות בעיגול ${\displaystyle U}$ סביב a:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$

נניח על דרך השלילה כי לא כל המקדמים בטור הם 0. משמע קיים ${\displaystyle m}$ טבעי קטן ביותר כך ש-${\displaystyle a_{m}\neq 0}$. נסמן:

${\displaystyle h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{m+n}(z-a)^{n}}$

${\displaystyle h}$ מתכנס ב-${\displaystyle U}$ לפי מבחן ההשוואה עם ${\displaystyle f^{(m)}}$. ${\displaystyle h(a)=a_{m}\neq 0}$. מכיוון ש-${\displaystyle h}$ רציפה, קיימת סביבה ${\displaystyle V\subseteq U}$ של a כך שלכל ${\displaystyle z\in V}$ מתקיים ${\displaystyle h(z)\neq 0}$. על כן לכל ${\displaystyle z\in V\setminus \{a\}}$ מתקיים:

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{m}h(z)\neq 0}$

ולכן a נקודה מבודדת ב-${\displaystyle S}$ בסתירה להגדרת ${\displaystyle S'}$. על כן הנחת השלילה שגויה ו-${\displaystyle a_{n}=0}$ לכל n טבעי. מכאן שלכל ${\displaystyle z\in U}$ מתקיים ${\displaystyle f(z)=0}$, ולכן ${\displaystyle U\subseteq S}$. אולם בעיגול כל נקודה היא נקודת הצטברות ולכן ${\displaystyle U\subseteq S'}$.

הוכחת משפט היחידות

נגדיר ${\displaystyle S=\{z\in D:f(z)=g(z)\}=\{z\in D:(f-g)(z)=0\}}$. לפי למה 2 ולמה 3 ${\displaystyle S'}$ היא קבוצה פתוחה וסגורה. מכיוון ש-${\displaystyle D}$ קבוצה קשירה, מתקיים ${\displaystyle S'=\emptyset }$ או ${\displaystyle S'=D}$. אולם ${\displaystyle A'\subseteq S'}$ ולפי הנתון ${\displaystyle A'}$ אינה ריקה. מכאן ש-${\displaystyle S'=D}$, ולכן לפי למה 1 ${\displaystyle S=D}$. משמע ${\displaystyle f(z)=g(z)}$ לכל ${\displaystyle z\in D}$.