משפט העקום של ז'ורדן

המחשה של משפט עקומת ז'ורדן. עקומת ז'ורדן מחלקת את המישור לאזור "פנימי" (בכחול) ואזור חיצוני (בורוד).

עקום ז'ורדן הוא לולאה פשוטה במישור, כלומר מסילה המתחילה ומסתיימת באותה הנקודה ושאינה חותכת את עצמה. משפט העקום של ז'ורדן קובע שכל עקום ז'ורדן מחלק את המישור לשני תחומים קשירים: התחום ה"פנימי" החסום, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" שאינו חסום. תמונתו של העקום במישור היא שפתם המשותפת של שני רכיבי הקשירות. בפרט נובע שכל מסילה העוברת בשני התחומים חייבת לחתוך את העקום.

ברנרד בולצאנו היה הראשון לנסח את המשפט באופן פורמלי והציג אותו כהשערה. המשפט נראה מובן מאליו, ואכן הוכחת המשפט עבור עקומי ז'ורדן מצולעים היא אלמנטרית, אך עם זאת ההוכחה עבור עקום ז'ורדן כללי אינה פשוטה כלל ועיקר. למרות ההגדרה האלמנטרית למושג של עקום ז'ורדן, עקומים כאלה יכולים להיות מסובכים למדי כדוגמת פרקטל, ולהיראות מקומית למשל כמו פונקציית ויירשטראס. במקרים כאלה קשה להסיק מרציפות העקומה, שהיא תכונה מקומית, מסקנות לגבי קשירוּת של קבוצות המישור, שהיא תכונה גלובלית, וכן קשה לעיתים להבין מהו התחום הפנימי, שכן אין דרך להגדיר "פנים" ו"חוץ" לעקומה.^[1] המשפט נקרא על שם המתמטיקאי קאמי ז'ורדן שניסח אותו לראשונה בשנת 1887.^[2] תקפותה של ההוכחה שז'ורדן הציג למשפט הייתה נתונה לוויכוח,^[3] ובכל מקרה המשפט הוכח באופן מלא בשנת 1905 על ידי אוסוולד וובלן .

נוסח פורמלי והכללות

הכללה של המשפט למרחבים אוקלידיים מממד גבוה יותר הוכחה בשנת 1911 על ידי אנרי לבג ולויצן אגברטוס יאן בראואר באופן בלתי תלוי, והיא מכונה "משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר". הוכחות מודרניות למשפט נשענות על כלים מטופולוגיה אלגברית של חישוב הומולוגיה, ובכלים אלה הכללה זו אינה קשה יותר מהמשפט המקורי. הכללה נוספת עבור יריעות קשירות וקומפקטיות במרחב האוקלידי הושגה על ידי ג'יימס וואדל אלכסנדר . למשפט העקום של ז'ורדן קיימת גרסה חזקה יותר המכונה "משפט ז'ורדן-שונפילד", לפיה תמונתו של כל עקום ז'ורדן הומאומורפית למעגל היחידה במישור.

להלן בכל המקרים נסמן נסמן $I:=\left[0,1\right]$ ונסמן את התמונה של העתקה $\gamma$ על ידי ${\mathcal {G}}$ .

משפט העקום של ז'ורדן: תהי $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ לולאה פשוטה במישור (ניתן להתייחס למישור גם כאל $\mathbb {C}$ , היות שכמרחב טופולוגי הם שקולים). אזי המרחב $X:=\mathbb {R} ^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא ${\mathcal {G}}$ .

משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר (הכללה לממד גבוה): נסמן את קוביית היחידה ה- $n$ -ממדית על ידי $I^{n}=\left[0,1\right]^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ . נגדיר "עקום ז'ורדן $n$ -ממדי" להיות העתקה רציפה מהצורה $\gamma :I^{n}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ , שהיא "לולאה" במובן זה שהיא מקבלת את אותו הערך על שפת התיבה $I^{n}$ , והיא "פשוטה" במובן זה שהיא לא חותכת את עצמה, כלומר חח"ע, על פנים התיבה $I^{n}$ . אזי המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n+1}\backslash {\mathcal {G}}} הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא ${\mathcal {G}}$ .

משפט אלכסנדר (הכללה ליריעות): כל תת-יריעה טופולוגית $n$ -ממדית קשירה וקומפקטית של המרחב האוקלידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+1}} מחלקת את המרחב לשני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, כאשר היריעה היא השפה המשותפת שלהם.

משפט ז'ורדן-שונפילד: תהי $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ לולאה פשוטה במישור. אזי קיים הומאומורפיזם $\Phi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ המקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi \left(\mathcal{G}\right)} הוא מעגל היחידה $S^{1}$ .

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית

בהוכחה זו נראה את החלק הראשון במשפט, לפיו ישנם שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחד לא חסום. כדי להשלים את הוכחת המשפט יש להראות כי ${\mathcal {G}}$ היא שפתם של שני רכיבי הקשירות. חלק זה לא נובע ישירות מהאיפיון על ידי טופולוגיה אלגברית, אולם הוא ניתן להוכחה באופן אלמנטרי כפי שמופיע בהוכחה לפי משפט נקודת השבת של בראואר.

נסמן ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^n} את הספירה ה- $n$ -ממדית. נבחין כי עקום ז'ורדן מהצורה $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ הוא למעשה שיכון (כלומר העתקה רציפה וחח"ע, שההופכית שלה רציפה) מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma:S^1 \to \mathbb{R}^2} . עוד נבחין כי אם נבצע קומפקטיפיקציה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^2} על ידי זיהוי כל הנקודות באינסוף, נקבל את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^2} .

נסמן את תמונת העקום על ידי ${\mathcal {G}}$ . זוהי תמונה רציפה של המעגל, ולכן ${\mathcal {G}}$ קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ומכאן שלמרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{2}\backslash\mathcal{G}} רכיב קשירות לא חסום יחיד, וכל שאר רכיבי הקשירות חסומים. לכן נובע כי השיכון ${\mathcal {G}}\subset S^{2}$ משמר את רכיבי הקשירות, כלומר מספיק להראות כי למרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{2}\backslash\mathcal{G}} יש שני רכיבי קשירות, ומיד ינבע כי האחד חסום והאחד לא חסום.

בטופולוגיה אלגברית רכיבי הקשירות נספרים על ידי ההומולוגיה $H_{0}$ של המרחב. כדי לחשב הומולוגיה זו עבור המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{2}\backslash\mathcal{G}} נשתמש במשפט מאייר-ויאטוריס. תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_+ \subset S^1} המחצית העליונה של המעגל יחד עם תוספת קצרה מתחת לקו האפס, כלומר $D_{+}:=\left\{\left(x,y\right)\in S^{1}\mid x>-\epsilon \right\}$ , ובאופן דומה תהי $D_{-}:=\left\{\left(x,y\right)\in S^{2}\mid x<\epsilon \right\}$ . נסמן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=S^2 \backslash \gamma(D_+)} ונסמן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=S^2 \backslash \gamma(D_-)} . מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \cap V = S^{2}\backslash\mathcal{G}} ומתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \cup V = S^2 \backslash \left\{\text{two points}\right\} \cong S^1} .

ברור כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U,V} מרחבים כוויצים ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tilde {H}}_{i}\left(U\right)={\tilde {H}}_{i}\left(V\right)=0} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} . לכן ממשפט מאייר-ויאטוריס לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} מתקבל איזומורפיזם בהומולוגיה המצומצמת:עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{H}_{i+1}\left(S^1\right)=\tilde{H}_{i+1}\left(U\cup V\right)\cong\tilde{H}_{i}\left(U\cap V\right)=\tilde{H}_{i}\left(S^{2}\backslash\mathcal{G}\right)} בפרט עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=0} נקבל את האיזומורפיזם:עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {Z} \cong {\tilde {H}}_{1}\left(S^{1}\right)\cong {\tilde {H}}_{0}\left(S^{2}\backslash {\mathcal {G}}\right)} לכן בסך הכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{0}\left(S^{2}\backslash\mathcal{G}\right)=\tilde{H}_{0}\left(S^{2}\backslash\mathcal{G}\right)\oplus\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}} , במשמע יש שני רכיבי קשירות.

אותה הוכחה תהיה תקפה באינדוקציה עבור המשפט בממדים גבוהים יותר. כלומר שימוש זהה במשפט מאייר-ויאטוריס מראה כי לכל שיכון מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma: S^n \to S^{n+1}} מתקיים עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G} = \text{Im}\gamma} כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{0}\left(S^{n+1}\backslash\mathcal{G}\right)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}} .

הוכחה באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר

נציג להלן את הוכחתו של ריוג'י מאהרה (Ryuji Maehara) מ-1984, העושה שימוש במשפט נקודת השבת של בראואר.

נבחין תחילה בשתי העובדות הבאות:

אם $U\subset X$ רכיב קשירות כלשהו, אז $U$ קבוצה פתוחה וקשירה-מסילתית (כי $\mathbb {C}$ מרחב קשיר-מסילתית מקומית).
${\mathcal {G}}$ קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ונובע כי $X$ בעל רכיב קשירות לא-חסום יחיד. אם כך, כדי להוכיח את המשפט די להראות כי $X$ בעל רכיב קשירות חסום יחיד, וכי שפתו של כל רכיב קשירות היא ${\mathcal {G}}$ .

לאורך ההוכחה נשתמש בשתי הטענות הבאות, אותן ניתן להוכיח על ידי משפט נקודת השבת של בראואר:

טענה 1: אם $X$ לא קשיר, אז השפה של כל רכיב קשירות היא ${\mathcal {G}}$ .
טענה 2: יהיו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g:I\to\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]} זוג מסילות כך שהמסילה f מתחילה "למטה" ומסתיימת "למעלה" (כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_{x}f\left(0\right)=0,\,\pi_{x}f\left(1\right)=1} ), והמסילה g מתחילה "משמאל" ומסתיימת "מימין" (כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_{y}g\left(0\right)=0,\,\pi_{y}g\left(1\right)=1} ). אזי קיימים $s,t\in I$ כך שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(s\right)=g\left(t\right)} .

מעובדה 2 לעיל יחד עם טענה 1, די להראות כי $X:=\mathbb {C} \backslash {\mathcal {G}}$ הוא בעל רכיב קשירות חסום יחיד.

נשים לב כי ${\mathcal {G}}$ קומפקטית, לכן יש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b\in\mathcal{G}} המקיימות,עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\Vert a-b\right\Vert =\max\left\{ \left\Vert x-y\right\Vert \mid x,y\in\mathcal{G}\right\}} נניח ללא הגבלת הכלליות כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a=\left(-1,0\right),\,b=\left(1,0\right)} (ניתן לסובב ולמתוח ללא שינוי רכיבי הקשירות), ונקבל כי המלבן ${\mathcal {R}}:=\left[-1,1\right]\times \left[-2,2\right]$ מכיל את ${\mathcal {G}}$ , וכי שפתו $\Gamma :=\partial {\mathcal {R}}$ מקיימת $\Gamma \cap {\mathcal {G}}=\left\{a,b\right\}$ .

נתבונן בנקודות האמצע של צלעות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{R}, n:=\left(0,2\right),\,s:=\left(0,-2\right)} . נשים לב כי הנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} מחלקות את ${\mathcal {G}}$ לתמונות של שתי מסילות, שנסמן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}_{n},\mathcal{G}_{s}} , שנקודת ההתחלה שלהן היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ונקודת הסיום שלהן היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} .

נשים לב כי הקטע האנכי $\left[n,s\right]$ הוא מסילה המחברת את צלעותיו האופקיות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{R}} . אם כך, מטענה 2 עבור המסילות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[n,s\right],\,\mathcal{G}_{n}} נקבל כי החיתוך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[n,s\right] \cap \mathcal{G}_n} לא ריק. תהי $l$ הנקודה הגבוהה ביותר בחיתוך הנ"ל, ותהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} הנקודה הנמוכה ביותר (אולי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=l} ).

נתבונן במסילה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta\equiv\left[n,l\right]\star\mathcal{G}\mid_{\left[l,m\right]}\star\left[m,s\right]} . נשתמש בטענה 2 עבור המסילות $\beta ,{\mathcal {G}}_{s}$ , ונקבל כי הן נחתכות. יהיו $p,q\in \beta \cap {\mathcal {G}}_{s}$ כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} הגבוהה ביותר ו- $q$ הנמוכה ביותר (אולי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=q} ).

נשים לב כי מאופן בחירת $l$ נובע כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[m,s\right]\cap\mathcal{G}_{s}\neq\emptyset} , שכן אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {G}}\mid _{\left[l,m\right]}\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset } זו לא לולאה פשוטה, ואם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[n,l\right]\cap\mathcal{G}_{s}\neq\emptyset} אז $l$ לא מקסימלי.

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0}\in \left[m,p\right]} נקודת אמצע הקטע. מאופן בחירת $m,p$ נקבל כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{0}\notin\mathcal{G}} ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{0}\in X} . יהי $U\subset X$ רכיב קשירות המכיל את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} . נראה כי רכיב הקשירות $U$ חסום ויחיד, ובזאת נסיים.

נראה כי $U$ חסום: נניח בשלילה כי $U$ אינו חסום. תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{0}\in U\cap\mathbb{C}\backslash\mathcal{R}} . נזכור כי $U$ קשיר מסילתית, אז תהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha :I\to U} מסילה עם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \left(0\right)=x_{0},\,\alpha \left(1\right)=w_{0}} . תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w\in\mbox{Im}\alpha\cap\Gamma} הנקודה הראשונה בחיתוך הנ"ל. לא ייתכן כי $w$ היא בגובה $0$ , כי אז $w\in \left\{a,b\right\}$ , אבל גם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle w\in U} ומתקיים $U\cap {\mathcal {G}}=\emptyset$ . נניח כי $w$ אינו גבוה מ- $0$ , אז יש מסילה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\widehat {ws}}} ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} המחברת את עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle w,s} , שאינה חותכת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} . נתבונן במסילה,עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}\mid _{\left[l.m\right]}\star \left[m,x_{0}\right]\star \alpha \mid _{\left[x_{0},w\right]}\star {\widehat {ws}}} מסילה זו אינה חותכת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}_{s}} , בסתירה לטענה 2. באופן סימטרי, אם $w$ גבוה מ- $0$ , יש מסילה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{wn}} ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} שלא חותכת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} , בסתירה לטענה 2, כי המסילות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}_{s},\,\left[s,x_{0}\right]\star\alpha\mid_{\left[x_{0},m\right]}\star\widehat{ws}} לא נחתכות.
נראה כי $U$ יחיד: יהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle W\subset X} רכיב קשירות חסום. כדי להראות $W=U$ די להראות כי $U\cap W\neq \emptyset$ . נשים לב כי $W\subset {\mathcal {R}}$ . נניח בשלילה $U\cap W=\emptyset$ . נתבונן במסילה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta\equiv\left[n,l\right]\star\mathcal{G}_{\left[l,m\right]}\star\left[m,p\right]\star\mathcal{G}_{\left[p,q\right]}\star\left[q,s\right]} ניתן לראות כי $\beta$ לא חותכת את $W$ . נשים לב כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Im}\beta} לא חותכת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} , ולכן יש כדורים פתוחים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B}_{a},\mathbf{B}_{b}} סביבות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} בהתאמה, שלא נחתכים עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Im}\beta} . מטענה 1 נובע כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}=\partial W} , ולכן יש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{1}\in W\cap\mathbf{B}_{a},\,b_{1}\in W\cap\mathbf{B}_{b}} . תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{a_{1}b_{1}}} מסילה ב- $W$ המחברת את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{1},b_{1}} . נתבונן במסילה $\left[a,a_{1}\right]\star {\widehat {a_{1}b_{1}}}\star \left[b_{1},b\right]$ שבתוך $W$ . מסילה זו לא נחתכת עם $\beta$ , בסתירה לטענה 2.

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem

הערות שוליים

↑ Fiona Rossa and William T. Rossb, "The Jordan curve theorem is non-trivial"
↑
↑ Thomas C. Hales, Jordan’s Proof of the Jordan Curve Theorem

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Fiona Rossa and William T. Rossb, "The Jordan curve theorem is non-trivial"

[2] ↑

[3] Thomas C. Hales, Jordan’s Proof of the Jordan Curve Theorem