משפט השונות השלמה

משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות פירוק לשונות של משתנה מקרי לגורמים של תוחלת מותנית ושונות מותנית במשתנה אחר.

אם X הוא משתנה מקרי, אז משפט השונות השלמה אומר כי:

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y\mid X))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y\mid X)).\,}$

הוכחה

על פי הגדרת השונות: ${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}$

בעזרת משפט התוחלת השלמה:

${\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}$

נשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}$

לפי לינאריות התוחלת:

${\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}\right)}$

לבסוף נזהה את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית ${\displaystyle E[Y|X]}$:

${\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}$

ראו גם

• משפט התוחלת השלמה