משפט ויגנר-אקרט

משפט ויגנר-אקרט הוא משפט שהחשיבות העיקרית שלו היא השימוש שנעשה בו במכניקת הקוונטים. לפי המשפט, ניתן לכתוב את אלמנטי המטריצה של אופרטור טנזורי אי פריק ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ בין מצבים של תנע זוויתי כמכפלה של גורמים באופן הבא

${\displaystyle \langle \tau 'j'm'|T_{q}^{(k)}|\tau jm\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2j'+1}}}\langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle \langle kjqm|j'm'\rangle }$

כאשר ${\displaystyle \ \tau }$ מסמל את המספרים הקוונטיים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. הגורם ${\displaystyle \langle \tau 'j'||T^{(k)}||\tau j\rangle }$ נקרא "אלמנט המטריצה המצומצם", חישובו בדרך כלל מסובך אך ניתן להראות כי הוא איננו תלוי ב- ${\displaystyle \ m'}$ וב- ${\displaystyle \ q}$. המקדמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle kjqm|j'm' \rangle} הם מקדמים ידועים הנקראים מקדמי קלבש-גורדן.

דוגמה לשימוש במשפט

תחת קירוב הדיפול החשמלי ובצימוד L-S, ההסתברות ליחידת זמן של מעבר קרינתי (פליטת פוטון) בין שני מצבים חד אלקטרוניים ${\displaystyle \ |\tau JM\rangle ,|\tau 'J'M'\rangle }$ של אטום מתכונתית לריבוע אלמנט המטריצה

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_{nm} \equiv \langle \tau' J' M' | r | \tau J M \rangle}

כאשר ${\displaystyle \ \tau }$ מייצג את המספרים הקוונטים שאינם קשורים לתנע הזוויתי. מכיוון שכל אופרטור וקטורי, ובפרט האופרטור ${\displaystyle \ r}$, ניתן לכתיבה כטנזור אי פריק מדרגה 1, נוכל להשתמש במשפט כדי לקבל שאלמנט המטריצה יחסי למקדמי קלבש גורדן

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \tau' J' M' | r_q^{(1)} | \tau J M \rangle \propto \langle 1 J q m|J'M' \rangle}

מתוך תכונות מקדמי קלבש גורדן, ניתן להסיק את כללי הברירה הבאים למעבר בתנאי דיפול חשמלי: מעבר מותר הוא מעבר שהמצבים ההתחלתי והסופי שלו מקיימים את התנאים

${\displaystyle \Delta J=0,\pm 1}$

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta M = 0, \pm 1}

כמו כן, המעבר ממצב עם ${\displaystyle \ J=0}$ למצב עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J'=0} הוא מעבר אסור.

משפט ההטלה של לנדה (Landé projection Theorem)

משפט לנדה הינו מקרה פרטי של משפט ויגנר אקרט, עבור אופרטור טנזוריאלי מהמעלה הראשונה: ${\displaystyle T_{q}^{(1)}}$, כלומר אופרטור וקטורי ${\displaystyle V_{i}}$

במקרה זה מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \tau' j'm'|V_i|\tau jm\rangle =\frac{4\pi^2}{h^2 j(j+1) }\langle \tau' j m|J\cdot V|\tau jm\rangle \langle j,m'|J_i|j,m \rangle }