משפט מינקובסקי

משפט מינקובסקי הוא תוצאה בסיסית בתחום המכונה 'גאומטריה של מספרים', השייך לתורת המספרים. את המשפט הוכיח הרמן מינקובסקי ב-1889.

נניח כי ${\displaystyle L}$ הוא סריג במרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . נסמן ב-${\displaystyle C}$ את נפח המקבילון היסודי שלו. (הדוגמה הפשוטה ביותר היא הסריג ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ הכולל את הנקודות שכל הרכיבים שלהן שלמים. המקבילון היסודי במקרה זה הוא קוביית היחידה, ונפחו ${\displaystyle C=1}$). המשפט עוסק בקבוצות סימטריות ביחס לראשית (כלומר, קבוצות הכוללות יחד עם כל נקודה ${\displaystyle x}$ גם את הנקודה הנגדית ${\displaystyle -x}$), וקובע שקבוצה סימטרית קמורה, שנפחה עולה על ${\displaystyle 2^{n}C}$ , מוכרחת להכיל לפחות נקודה אחת של ${\displaystyle L}$ פרט ל־0 (אם ידוע שהקבוצה קומפקטית, הטענה נכונה גם אם הנפח שווה לחסם, ולא רק גדול ממנו).

ממשפט זה נובע שכל מחלקה של אידאלים שבריים בחוג השלמים ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ של שדה מספרים ${\displaystyle K}$ מכילה אידאל ${\displaystyle I}$ , עם נורמה ${\displaystyle N(I)\leq {\frac {n!}{n^{n}}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}\cdot {\sqrt {|D|}}}$ (הנורמה של ${\displaystyle I}$ שווה לגודל חוג המנה ${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{K}/I}$). כאן ${\displaystyle n}$ הממד של ${\displaystyle K}$ מעל שדה המספרים הרציונליים, ${\displaystyle 2s}$ מספר השיכונים המרוכבים של ${\displaystyle K}$ , ו-${\displaystyle D}$ הדיסקרימיננטה של ההרחבה. לחסם זה יש תוצאות מרחיקות לכת, שהחשובה ביניהן היא העובדה שכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד.

ראו גם

• משפט פיק