משפט עבודה-אנרגיה

בפיזיקה, משפט העבודה–אנרגיה קובע כי העבודה שנעשית על ידי שקול הכוחות על גוף מסוים, כאשר הוא נע מנקודה אחת לאחרת, שווה בדיוק להפרש באנרגיה הקינטית של הגוף, בין סופה לתחילתה של התנועה המדוברת. באופן פורמלי, ${\displaystyle W_{\Sigma F}=\Delta E_{k}}$ .

הוכחה

ההוכחה כאן היא במסגרת מכניקה קלאסית. נניח כי גוף נע מנקודה 1 אל נקודה 2, תחת השפעת הכח השקול ${\displaystyle {\vec {F}}}$. העבודה שעושה הכח תוך כדי התנועה היא

${\displaystyle W=\int \limits _{1}^{2}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}$

על ידי שימוש בחוק השני של ניוטון ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ מקבלים

${\displaystyle W=\int \limits _{1}^{2}m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}=m\int \limits _{1}^{2}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}}$

שימוש בקשר ${\displaystyle d{\vec {r}}={\vec {v}}dt}$ נותן לנו

${\displaystyle W=m\int \limits _{1}^{2}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int \limits _{1}^{2}{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}}$

טריוויאלי כי ${\displaystyle \int x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}}$ לכן

${\displaystyle W=m\int \limits _{1}^{2}{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$

הגודל ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ מוגדר להיות האנרגיה הקינטית, ובכך הוכחנו את המשפט.

קישורים חיצוניים

1. עוד על משפט עבודה אנרגיה בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית