נוסחת אוילר (שברים משולבים)

		יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
		הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

בתאוריה האנליטית של שברים משולבים, נוסחת אוילר לשברים משולבים היא זהות מתמטית הקושרת סכומים סופיים של מכפלות עם שברים משולבים מוכללים. הנוסחה מאפשרת להציג טורים אינסופיים מסוימים כשבר משולב. נוסחה זו היא הבסיס להוכחות מודרניות רבות של התכנסות שברים משולבים.

הנוסחה

לאונרד אוילר הציג את הזהות במקור כמניפולציה מתמטית המאפשרת להציג סכומים סופיים של מכפלות כשבר משולב סופי:

${\displaystyle {a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\dfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}}}$

קל להוכיח את הזהות באמצעות אינדוקציה על ${\displaystyle n}$ , ולפיכך הזהות ישימה בגבול; אם הביטוי באגף שמאל מורחב ומייצג טור אינסופי מתכנס, הביטוי באגף ימין ייצג שבר משולב אינסופי מתכנס.

דוגמאות