נוסחת לייבניץ ל-π

גוטפריד וילהלם לייבניץ

במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל־${\displaystyle \pi }$ , ידוע גם כנוסחת גרגורי–לייבניץ על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

הוכחה

ניתן להוכיח טענה זו על־ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי):

${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

ולהציב ${\displaystyle x=1}$ ונקבל את הנוסחה.

הוכחה נוספת:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}dx\\&=\int \limits _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}+{\frac {(-x^{2})^{n+1}}{1+x^{2}}}\right)dx\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}+(-1)^{n+1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2(n+1)}}{1+x^{2}}}dx\\&0<\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2(n+1)}}{1+x^{2}}}dx<\int \limits _{0}^{1}x^{2(n+1)}dx={\frac {1}{2n+3}}\ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\ 0\\&\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$