סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, כאשר מנתה ${\displaystyle -1<q<1}$ או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|<1} .

סדרה הנדסית שלא מקיימת תנאי זה נקראת סדרה הנדסית מתבדרת.

הוכחת נוסחת הסכום

דיאגרמה להמחשת סכום הסדרה ההנדסית ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots =2}$

נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots }$ שמנתה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|<1} .

נוסחת הסכום של סדרה הנדסית: ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}$

נחשב את הגבול של סכום הסדרה כאשר ${\displaystyle n}$ שואף ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty}  :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(\lim \limits _{n\to \infty }q^{n}-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(0-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}(-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}}$

כדאי לשים לב שמכיוון שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|<1} אז ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q^{n}=0}$ .

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת ניתן לכתוב כ-${\displaystyle S_{\infty }}$ או בצורה הנפוצה יותר ${\displaystyle S}$ .

ראו גם

• סדרה הנדסית
• טור גאומטרי

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', מהו גבול? (של סדרה), באתר "לא מדויק"