סדרת סילבסטר

סדרת סילבסטר היא סדרה של מספרים טבעיים, המוגדרת לפי נוסחת הנסיגה ${\displaystyle \ s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1}$, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ s_{1}=2} . הסדרה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי בריטי ג'יימס ג'וזף סילבסטר.

בסדרה זו מתקיים שכל איבר שווה למכפלה של קודמיו בסדרה בתוספת 1, לפי היחס ${\displaystyle \ s_{n}=1+\prod _{i=1}^{n-1}s_{i}}$, וכך אפשר לראות שכל שני מספרים בה זרים זה לזה. תכונה זו מספקת הוכחה מיידית למשפט של אוקלידס שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים: לכל איבר בסדרה יש מחלק ראשוני, ואלו חייבים להיות שונים זה מזה.

חשיבותה העיקרית של סדרת סילבסטר בכך שמבין כל הפתרונות למשוואה הדיופנטית ${\displaystyle \ {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}=1}$ בנעלמים ${\displaystyle \ 0<x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}}$, עבור ${\displaystyle \ n}$ טבעי כלשהו, הפתרון שבו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x_{n}} הוא הגדול ביותר מתקבל מ- ${\displaystyle \ n}$ איברי סדרת סילבסטר הראשונים, לפי הנוסחה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ {\frac {1}{s_{1}}}+\dots +{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n}-1}}=1} . בפרט, למשוואה זו יש מספר סופי של פתרונות.

לדוגמה, ארבעת האיברים הראשונים של סדרת סילבסטר הם 2, 3, 7, 43, ואכן ${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{42}}=1}$.