סימן לז'נדר

סימן לז'נדר הוא מושג בתורת המספרים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. סימן לז'נדר מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי הוא הרחבה של סימן לז'נדר.

הגדרה

תחום הפונקציה $\left({\frac {a}{p}}\right)$ הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים $(p,a)$ כאשר $p$ ראשוני אי-זוגי ו- $a$ שלם, וטווח הפונקציה הוא $\{-1,0,1\}$ .

עבור כל זוג $(p,a)$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}:\ a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}:\ a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{cases}}

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחא המפורשת:

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}\quad {\text{ and }}\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}

אם $\ p,q$ ראשוניים אי-זוגיים ו- $a,b$ שלמים, אזי:

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$
אם מתקיים $a\equiv b{\pmod {p}}$ אז מתקיים גם: $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&:p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&:p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$
$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1&:p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}$
$\left({\frac {3}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {12}}\\-1&:p\equiv \pm 5{\pmod {12}}\end{cases}}$
$\left({\frac {5}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&:p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$
$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}$ (משפט ההדדיות הריבועית)

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.