עקומת הסינוס של הטופולוגים

בטופולוגיה, עקומת הסינוס של הטופולוגים היא דוגמה קלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאינו קשיר מסילתית.

הגדרה פורמלית

עקומת הסינוס של הטופולוגים מוגדרת כתת־המרחב של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R^2} , המורכב מגרף הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin \left(\frac{1}{x}\right)} בקטע ${\displaystyle \ (0,\infty )}$ ומהקטע הסגור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{ 0\}\times [-1,1]} .

כלומר, מדובר בתת־הגרף של המישור האוקלידי המוגדר על ידי הקבוצה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{(x,\sin(1/x)): x>0\} \cup \{ 0\}\times [-1,1]}

תכונות

ניתן להוכיח שעקומה זו קשירה, אך אינה קשירה מסילתית ואינה קשירה מקומית. זוהי הדוגמה הקלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאיננו קשיר מסילתית.

עקומת הסינוס של הטופולוגים היא קומפקטית מקומית ואף קומפקטית. עם זאת עקומת הסינוס של הטופולוגים הפתוחה, בפירוט, תמונת הפונקציה הרציפה המוגדרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=(x,\sin(1/x))} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x>0} , ו- ${\displaystyle \ f(x)=(0,0)}$ עבור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x={-1}} של המרחב ${\displaystyle \ \{-1\}\cup (0,\infty )}$ היא תמונה רציפה של קומפקטית מקומית בעוד שאינה קומפקטית מקומית בעצמה.

קישורים חיצוניים

• עקומת הסינוס של הטופולוגים, באתר MathWorld (באנגלית)