פולינום פקטה

השורשים של ${\displaystyle f_{43}}$ במישור המרוכב

בתורת המספרים במתמטיקה, פולינום פקטה הוא הפולינום ${\displaystyle f_{p}(z)}$ המוגדר לכל ${\displaystyle p}$ ראשוני על ידי:

$${\displaystyle f_{p}(z)=\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)z^{k}}$$

כאשר ${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)}$ הם סימני לז'נדר, והסכום הוא עבור ${\displaystyle 1\leq k\leq p-1}$ .

פולינומים אלה היו ידועים בחקר פונקציות L של דיריכלה שנערכו במאה ה-19, ולמעשה גם לדיריכלה עצמו. הם נקראים על שם מיכאל פקטה, שהבחין שהיעדרם של אפסים ממשיים של פולינום פקטה ${\displaystyle f_{p}(z)}$ עם ${\displaystyle 0<z<1}$ גורר שלפונקציית L ${\displaystyle L\left(s,\left({\tfrac {k}{p}}\right)\right)}$ אין אפסים עם ${\displaystyle s>0}$ . לתכונה זו עניין רב בתורת המספרים, בהקשר של אפס זיגל ליד ${\displaystyle s=1}$ .

קישורים חיצוניים