פונקציית אקרמן

וילהלם אקרמן

פונקציית אקרמן היא דוגמה פשוטה לפונקציה רקורסיבית שאיננה רקורסיבית פרימיטיבית. פונקציה זו גדלה מהר יותר מכל פונקציה רקורסיבית פרימיטיבית. לשם המחשה, ${\displaystyle A(4,2)}$ בבסיס 10 הוא מספר בן 19,729 ספרות.

הפונקציה קרויה על-שם מי שהגדיר אותה, בשנת 1928, המתמטיקאי הגרמני וילהלם אקרמן.

הגדרה

פונקציית אקרמן מחושבת על ידי ההגדרה הרקורסיבית הבאה:

${\displaystyle A(m,n)={\begin{cases}n+1&:m=0\\A(m-1,1)&:m>0,n=0\\A{\bigl (}m-1,A(m,n-1){\bigr )}&:m>0,n>0\end{cases}}}$

עבור ${\displaystyle m,n}$ טבעיים.

ניתן לבטא את פונקציית אקרמן במונחי החץ של קנות' והחץ של קונוויי.

הזהויות הן (${\displaystyle m>2,n}$ טבעיים):

• החץ של קנות': ${\displaystyle A(m,n)=2\uparrow ^{m-2}(n+3)-3}$
• החץ של קונוויי: ${\displaystyle A(m,n)={\bigl (}2\to (n+3)\to (m-2){\bigr )}-3}$

ראו גם

• מספרים גדולים