פונקציית קסי של רימן

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (על שם המתמטיקאי ברנהרד רימן) היא פונקציה מרוכבת הקשורה לפונקציית זטא של רימן ומוגדרת על ידי משוואה פונקציונלית על בסיס פונקציית גמא ופונקציית זטא הנ"ל.

הגדרת הפונקציה

ההגדרה המקורית של פונקציית קסי של רימן השתנתה על ידי אדמונד לנדאו, ומסומנת על ידי קסי גדולה (${\displaystyle \Xi }$). הפונקציה של לנדאו מוגדרת להיות:

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

עבור ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ , כאשר ${\displaystyle \Gamma }$ פונקציית גמא ו-${\displaystyle \xi }$ פונקציית זטא של רימן. ניתן לראות על פי ההגדרה של הפונקציה כי

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)}

ההגדרה של פונקציית ${\displaystyle \Xi }$ על פי לנדאו (אשר הייתה הפונקציה המקורית של רימן) היא:

${\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)}$

המאופיינת על ידי המשוואה הפונקציונלית הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Xi(-z)=\Xi(z)}

מאפייני הפונקציה

• ${\displaystyle \xi (2n)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

כאשר ${\displaystyle B_{n}}$ מספר ברנולי ה-${\displaystyle n}$-י. אפשר לראות כי ${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$ .

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dz}\ln\xi\left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum_{n=0}^\infty\lambda_{n+1}z^n}

כאשר

• ${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log {\bigl (}\xi (s){\bigr )}\right]{\bigg |}_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} מוגדרת להיות השורשים הלא-טריויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאד לקריטריון לי, האומר כי השערת רימן שקולה לכך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_n>0} לכל ${\displaystyle n}$ חיובי.

• ${\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)}$

כאשר ${\displaystyle \alpha }$ מוגדרת להיות שורשי ${\displaystyle \xi }$ .