קוד ליניארי

ראשי מחלקות

בהינתן קוד ${\displaystyle \ [n,k]}$ ליניארי ${\displaystyle \ C}$, ניתן לחלק את המרחב ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ למחלקות מהצורה ${\displaystyle \ a+C}$ לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\isin \mathbb{F}_q^n} . כלומר, לאוספי כל הווקטורים המתקבלים מהוספת וקטור כלשהו (לאו דווקא מילת קוד) לכל איברי ${\displaystyle \ C}$. המחלקות המתקבלות על ידי C שוות כולן בגודלן לגודלו של C, ומכילות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q^k} איברים כל אחת.

למחלקות הללו קיימים נציגים רבים. למעשה, טענה ידועה בתורת החבורות קובעת שקיים שוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+C=b+C} בין שתי מחלקות אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a-b\isin C} . על כן, שני וקטורים ${\displaystyle \ a,b}$ שייכים לאותה המחלקה אם ורק אם ההפרש ביניהם הוא מילת קוד. לכן, כל אחד מאיברי מחלקה יכול לשמש נציג שלה. עם זאת, נבחר לכל מחלקה כנציג וקטור בעל משקל מינימלי במחלקה. את הנציגים שהתקבלו באופן זה נכנה ראשי המחלקות של ${\displaystyle \ C}$.

פענוח באמצעות ראשי מחלקות מתבסס על האבחנה שאם נשלחה מילת קוד ${\displaystyle \ x}$ והתקבלה תחתיה מילה ${\displaystyle \ y}$, וקטור השגיאה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v=x-y} (במקרה הבינארי, למשל, מדובר בווקטור אשר מכיל 1 במקומות בהם התקבלו השגיאות בתקשורת) שייך לאותה המחלקה לה שייכת המילה ${\displaystyle \ y}$. משקל וקטור השגיאה שווה למספר השגיאות שהתקבלו בתקשורת. לכן, אם אנחנו מעוניינים בתיקון שגיאות לפי שיטת השכן הקרוב ביותר, יהיה עלינו להניח וקטור שגיאה ממשקל מינימלי, ולכן שווקטור השגיאה הוא אחד מראשי המחלקה לה שייך ${\displaystyle \ y}$. לאחר שקבענו את וקטור השגיאה ${\displaystyle \ v}$, הפענוח יתרחש באמצעות הוספת וקטור השגיאה המשוער ${\displaystyle \ v}$ לווקטור שהתקבל ${\displaystyle \ y}$, ותתקבל באופן זה מילת הקוד המקורית.

ניתן להעיר ששיטה זו אינה חד משמעית תמיד, ובקוד בעל מרחק קוד של ${\displaystyle \ d=2t}$, תיתכן מחלקה אשר תכיל שני ראשי מחלקות אפשריים בעלי משקל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} , אשר הבחירה ביניהם תעשה באקראי. ביישומים בהם לא מעוניינים בבחירה אקראית כזו, ניתן להשתמש בשיטת פענוח לא שלם לפיה מבוצע פענוח אך ורק כאשר משקל ראש המחלקה שנמצא קטן מ-t.

פענוח סינדרומי

קושי אחד נותר בשיטה שתוארה לעיל - בהתקבל מילה ${\displaystyle \ y}$, כיצד ניתן למצוא את ראש המחלקה לה היא שייכת בצורה יעילה? חיפוש סדרתי בין כל המילים האפשריות ידרוש זמן מעריכי באורך ${\displaystyle \ y}$, ולכן אינו סביר.

שימוש במטריצת בדיקת הזוגיות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H} של הקוד פותר בעיה זו. ראשית, נגדיר את ${\displaystyle \ yH^{T}}$ כסינדרום של ${\displaystyle \ y}$. השיטה המכונה פענוח סינדרומי מתבססת על כך שלשתי מילים קיים אותו סינדרום אם ורק אם הן שייכות לאותה המחלקה:

${\displaystyle \ xH^{T}=yH^{T}\iff (x-y)H^{T}=0\iff x-y\in C}$

לכן, באמצעות שמירת רשימה של ראשי מחלקות והסינדרומים המתאימים להן, ניתן למצוא את ראש המחלקה המתאים לכל מילה ${\displaystyle \ y}$ באמצעות חישוב הסינדרום המתאים לה, ומציאתו ברשימת הסינדרומים.