מספר ראשוני רגולרי

בתורת המספרים, מספר ראשוני רגולרי הוא מספר ראשוני גדול מ־2, המקיים תכונה מסוימת, שתוצג בהמשך. את המושג הציע ארנסט קומר, שגם הוכיח בשנת 1847 את המשפט האחרון של פרמה עבור ראשוניים כאלה.

עד 100, הראשוניים היחידים שאינם רגולריים הם: 37, 59 ו־67. משערים שצפיפות הראשוניים הרגולריים בין שאר הראשוניים היא ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}}\approx 60.65\,\%}$ , אבל לא ידוע אפילו האם ישנם אינסוף כאלה. ב־1915 הוכיח יוהאן ינסן שיש אינסוף ראשוניים שאינם רגולריים.

ההגדרה

עבור מספר טבעי ${\displaystyle n}$ , שורש יחידה מסדר ${\displaystyle n}$ הוא מספר מרוכב ${\displaystyle \rho _{n}}$ עבורו ${\displaystyle \rho _{n}^{n}=1}$ . למשל, ${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ הוא שורש היחידה מסדר 3, ו־${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ הוא שורש יחידה מסדר 4.

'החוג הציקלוטומי' ${\displaystyle \mathbb {Z} [\rho _{n}]}$ הוא, על־פי ההגדרה, החוג הקטן ביותר המכיל את המספרים השלמים ואת שורשי היחידה מסדר ${\displaystyle n}$ . (זהו חוג השלמים של השדה הציקלוטומי מסדר ${\displaystyle n}$). נזכיר שבחוג קומוטטיבי ${\displaystyle R}$ , כל קבוצה הסגורה לחיבור וחיסור ולכפל באברי החוג נקראת אידאל, בעוד שאידאלים מן הצורה המיוחדת ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ הם 'אידאלים ראשיים'. חוג שבו כל האידאלים ראשיים, נקרא תחום ראשי – אלא שבדרך כלל החוג הציקלוטומי אינו כזה.

הגדרה. הראשוני ${\displaystyle p}$ הוא ראשוני רגולרי אם לכל אידאל ${\displaystyle I}$ של ${\displaystyle \mathbb {Z} [\rho _{p}]}$ , מן ההנחה כי ${\displaystyle I^{p}}$ אידאל ראשי נובע שגם ${\displaystyle I}$ עצמו הוא ראשי.

במלים אחרות, מספר ראשוני הוא רגולרי אם הוא אינו מחלק את סדר חבורת המחלקות של השדה הציקלוטומי המתאים.

הקשר למשפט פרמה

ב־1753 הוכיח לאונרד אוילר את המשפט האחרון של פרמה עבור החזקה ${\displaystyle p=3}$ : אין פתרונות שלמים למשוואה ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ , פרט לפתרונות הצפויים, שבהם אחד המשתנים שווה ל־0. ב־1770 הגדיר אוילר את החוג ${\displaystyle \mathbb {Z} [\rho _{3}]}$ , והשתמש בתכונות שלו כדי לתת הוכחה נוספת לאותה טענה. הרעיון הבסיסי בהוכחה זו היה הפירוק של הביטוי ${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$ למכפלה ${\displaystyle (x+y)(x+\rho _{3}y)(x+\rho _{3}^{2}y)}$ , שבו הגורמים אינם עוד מספרים שלמים, אלא אברי החוג הציקלוטומי. במקרה ${\displaystyle p=3}$ החוג הזה מקיים דרישות אריתמטיות חזקות מאוד (זהו חוג אוקלידי, ובפרט חוג ראשי), וכך יכול היה אוילר להסיק שאם המכפלה שווה לחזקה שלישית ${\displaystyle z^{3}}$ , כך צריך להיות כל אחד מן הגורמים (עד כדי כפל באברים הפיכים של החוג).

בשיטה זו הוכיחו את משפט פרמה גם עבור החזקות ${\displaystyle p=5,7}$ .

ב־1847 הראה ארנסט קומר שאם ${\displaystyle u}$ איבר הפיך בחוג הציקלוטומי מסדר ${\displaystyle p}$ , אז ${\displaystyle u^{p}}$ הוא מספר שלם. הבחנה זו אפשרה לו להכליל את הרעיונות של קודמיו, והוא הראה ששיטת ההוכחה של אוילר שוללת את קיומם של פתרונות שלמים למשוואה ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ לכל ראשוני אי־זוגי ${\displaystyle p}$ , ובלבד שהאידאלים בחוג הציקלוטומי מקיימים תכונה מסוימת. לתכונה זו קרא קומר 'רגולריות' של ${\displaystyle p}$ .

קריטריון לרגולריות

קומר לא הסתפק בהוכחה של משפט פרמה עבור ראשוניים רגולריים – הוא מצא גם תנאי חישובי לרגולריות, מתחום אחר לחלוטין, והוכיח כי ראשוני ${\displaystyle p\geq 5}$ הוא רגולרי אם ורק אם הוא אינו מחלק את המונה של מספרי ברנולי ${\displaystyle B_{2},B_{4},B_{6},\ldots ,B_{p-3}}$ , המתקבלים מפיתוח טיילור ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$ .