רזולטנט

באלגברה, רֶזוּלטַנט הוא שמו של מדד מספרי המחושב משני פולינומים נתונים, ומתאר את הקשר בין השורשים שלהם, בדרך המכלילה את הדיסקרימיננטה.

יהיו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = a_n x^n + \dots + a_0} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = b_m x^m + \dots + b_0} שני פולינומים מעל שדה F. הרזולטנט שלהם מוגדר כדטרמיננטה של המטריצה ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ ש-m שורותיה הראשונות הן ההזזות של הווקטור ${\displaystyle (a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0})}$, ו-n שורותיה האחרונות הן הזזות של הווקטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b_m,b_{m-1},\dots,b_0)} (עם אפסים בכל מקום אחר).

נניח שהמקדם המוביל של f אינו אפס. לפולינומים f,g יש גורם משותף אם ורק אם הפולינומים ${\displaystyle f,xf,\dots ,x^{m-1}f,g,xg,\dots ,x^{n-1}g}$ תלויים לינארית. מכאן נובע שיש שורש משותף (בשדה פיצול משותף לשני הפולינומים) אם ורק אם הרזולטנט של f,g הוא אפס. למעשה,

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})=a_{n}^{m}\prod _{i}g(x_{i})=b_{m}^{n}\prod _{j}f(y_{j})}$,

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,\dots,x_n} הם השורשים של f, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1,\dots,y_m} הם השורשים של g.

מחוק קרמר נובע שהרזולטנט של פולינומים מעל שדה שייך לאידאל שהם יוצרים בחוג הפולינומים מעל השדה. אם מקדמי הפולינומים שייכים לתחום שלמות D, גם הרזולטנט הוא איבר באותו תחום שלמות. תכונה זו מאפשרת לרזולטנט לטפל גם בפולינומים בכמה משתנים.

הדיסקרימיננטה של פולינום מתקבלת מן הנוסחה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {Res} (f,f')=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}\Delta (f)} .

ברזולטנט אפשר להשתמש כדי לפתור את בעיית הפירוש (Implicitization) של עקום פרמטרי מישורי: נתון העקום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1 = f_1(t),\ x_2 = f_2(t)} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1,\,f_2} פולינומים. מהי המשוואה הפולינומית שאותה מקיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_1,x_2)} ? התשובה היא הרזולטנט של ${\displaystyle \ x_{1}-f_{1}(t),x_{2}-f_{2}(t)}$ ביחס למשתנה t (אותו פתרון נכון גם כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_1,f_2} פונקציות רציונליות, על ידי כפל במכנה המשותף). כאשר מדובר בעקום במרחב רב-ממדי, היחסים האלגבריים בין ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_i} מתקבלים מניפוי t באידאל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle x_1-f_1(t),\dots,x_n-f_n(t)\rangle} באמצעות בסיס גרובנר.

ראו גם

• דיסקרימיננטה