רציפות במידה אחידה

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם ${\displaystyle \ y}$ קרוב ל- ${\displaystyle \ x}$ אז ${\displaystyle \ f(y)}$ קרוב ל-${\displaystyle \ f(x)}$ לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

הגדרה: משפחה ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x)\}}$ של פונקציות רציפות ממרחב מטרי קומפקטי ${\displaystyle X}$ עם מטריקה ${\displaystyle d}$ למרחב מטרי ${\displaystyle Y}$ עם מטריקה ${\displaystyle \rho }$ נקראת רציפה במידה אחידה, אם לכל ${\displaystyle \ \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \ \delta >0}$ (התלוי ב-${\displaystyle \ \varepsilon }$ בלבד), כך שלכל ${\displaystyle \ f\in {\mathcal {F}}}$ ולכל ${\displaystyle \,x,y\in X}$, אם ${\displaystyle \!\,d(x,y)<\delta }$ אז ${\displaystyle \ \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }$.

תוצאה יסודית באנליזה פונקציונלית הנוגעת לתכונה זו היא משפט ארזלה אסקולי, שקובע שלקבוצה חסומה של פונקציות ממשיות ורציפות על קטע קומפקטי יש תת-סדרה המתכנסת במידה-שווה אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה. מסקנה מידית היא שאם קבוצה זו אינה רק חסומה אלא גם סגורה, אז היא קומפקטית אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.