שקילות אסטרטגית

שקילות אסטרטגית היא מושג בתורת המשחקים העוסק בקשר שבין משחקים שונים. שני משחקים הם שקולים אסטרטגית אם כל אחד יכול להתקבל מהשני על ידי שינוי פונקציית התועלת של השחקנים. מושג השקילות האסטרטגית תקף הן למשחקים בצורה אסטרטגית והן למשחקים בצורה קואליציונית.

הגדרות

משחק בצורה קואליציונית הוא זוג עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,v\right)} בו קבוצת השחקנים היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\{1,2,\cdots,n\}} ו-${\displaystyle v}$ היא הפונקציה הקואליציונית, או פונקציית הרווח, המתאימה לכל תת-קבוצה ${\displaystyle S}$ של שחקנים מספר ממשי. הפונקציה הקואליציונית ${\displaystyle v}$ מקיימת כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(\emptyset\right)=0} . אנו חושבים על תת-קבוצות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} כעל קואליציות. לפיכך, הפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה שווי מסוים.

משחק בצורה קואליציונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,v\right)} שקול אסטרטגית למשחק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,w\right)} אם קיימים מספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>0} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle b_{1},\cdots ,b_{n}\in \mathbb {R} } כך שלכל קואליציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\subseteq N} מתקיים: ${\displaystyle w\left(S\right)=av\left(S\right)+\sum _{i\in S}b_{i}}$.

במשחק בצורה אסטרטגית לכל שחקן i יש קבוצת פעולות אפשריות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_i} . הוא מחליט על התפלגות כלשהי על קבוצת הפעולות, כלומר, באיזו הסתברות ישחק כל פעולה. לכל שחקן יש פונקיית תועלת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i} שנקבעת על ידי תוחלת התשלום תחת ההתפלגויות של כל השחקנים. משחק בצורה אסטרטגית עם פונקציות תועלת ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ שקול אסטרטגית למשחק עם פונקציות תועלת ${\displaystyle \{v_{i}\}}$, אם קיימים מספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a_i>0\}} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{b_i\}} , כך שלכל i מתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i=a_iv_i+b_i} .

הרעיון בשקילות אסטרטגית הוא שניתן לתאר אותה סיטואציה על ידי שני משחקים שונים. לדוגמה, במשחק בצורה קואליציונית, ייתכן שהפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה סכום כסף בשקלים. באותה מידה ניתן להמיר את סכום הכסף הזה לדולרים. שער ההמרה בין שקל לדולר מקביל לקבוע ${\displaystyle a}$ בהגדרת השקילות.

בנוסף, ייתכן שכל שחקן נותן חלק מהרווח שלו לצדקה, או שהוא מקבל הכנסות מסוימות ממקורות אחרים. במקרה כזה, ההכנסה של שחקן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} מקבילה לקבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_i} .

תכונות

• לא כל שני משחקים שקולים אסטרטגית. לדוגמה, נתבונן במשחק בצורה קואליציונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,v\right)} בו יש שלושה שחקנים (${\displaystyle N=\{1,2,3\}}$), והפונקציה הקואליציונית נתונה על ידי הערכים הבאים: (א) עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v\left(1\right)=v\left(2\right)=v\left(3\right)=0} , (ב) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(1,2\right)=v\left(1,3\right)=v\left(2,3\right)=1} , (ג) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(1,2,3\right)=1} . משחק זה אינו שקול, למשל, למשחק זהה בו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\left(1,2,3\right)=2} , מכיוון שתנאי השקילות מחייב שכל הקבועים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_i=0} וש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=1} .
• כל משחק בצורה קואליציונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,v\right)} שקול אסטרטגית למשחק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(N,w\right)} בו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle w\left(i\right)=0} , כלומר, למשחק בו השחקנים לא מרוויחים דבר אם הם לא משתפים פעולה.
• שקילות אסטרטגית היא יחס שקילות.

ראו גם

• משחק שיתופי

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, ISBN 9654932946