תגובה טובה ביותר

בתורת המשחקים, תגובה טובה ביותר היא אסטרטגיה (תכסיס) אשר מובילה לתועלת הטובה ביותר עבור שחקן, בהינתן האסטרטגיות של השחקנים האחרים. תגובה טובה ביותר היא רעיון מרכזי בתורתו של ג'ון פורבס נאש העוסקת בשיווי משקל נאש.

הגדרה פורמלית

משחק בן n שחקנים יסומן $G=(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ S_i} היא קבוצת האסטרטגיות של השחקן ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} , ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ u_i} היא פונקציה $u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{n}\rightarrow \mathbb {R}$ שמתאימה לכל בחירת אסטרטגיות של כל השחקנים את התועלת (נקרא גם תשלום, או רווח) שמפיק שחקן ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ממנה.

נסמן את צירוף האסטרטגיות של כל השחקנים באות $s$ (ללא סימון שחקן): עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \in S = S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n } . נהוג לכתוב את צירוף האסטרטגיות מנקודת מבטו של שחקן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } כך: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = \left ( s_i, s_{-i} \right ) } . כלומר, האסטרטגיה של שחקן ה- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} וכל האסטרטגיות של שאר השחקנים.

אסטרטגיה $\!\ s_{i}$ היא תגובה טובה ביותר ל - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ s_{-i}} אם לכל אסטרטגיה אחרת $\!\ s_{i'}$ של שחקן ה- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} מתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i \left ( s_i, s_{-i} \right ) \ge u_i \left ( s_{i'}, s_{-i} \right )} .

דוגמה

נסתכל על משחק בין שני שחקנים (באסטרטגיות טהורות). שחקן 1 יכול לבחור אסטרטגיה אחת מתוך הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_1 = \left ( a, b, c \right )} ושחקן 2 יכול לבחור אסטרטגיה אחת מתוך הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2 = \left ( d, e, f \right )} . התועלות מתוארות בעזרת הטבלה הבאה. כל משבצת מגדירה את תוצאת הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u\left ( s \right )} כאשר $s$ הוא הצירוף הרלוונטי של השורה והטור (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a,e\}} לדוגמה). התועלת של שחקן 1 מופיע משמאל והתועלת של שחקן 2 מופיע מימין.

*משחק לדוגמה*
	שחקן 2 בוחר באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d}	שחקן 2 בוחר באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e}	שחקן 2 בוחר באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f}
שחקן 1 בוחר באסטרטגיה $a$	4, 4	3, 12	2, 1
שחקן 1 בוחר באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}	3, 1	1, 3	3, 2
שחקן 1 בוחר באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c}	2, 3	4, 3	2, 0

נסתכל על נקודות מבטו של שחקן 1, בהינתן האסטרטגיה שבחר שחקן 2:

אם שחקן 2 בחר לשחק את אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} , בחירה של שחקן 1 באסטרטגיה $a$ תוביל לתועלת 4, בחירה באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} תוביל לתועלת 1, ובחירה באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} תוביל לתועלת 3. לכן התגובה הטובה ביותר במקרה זה תהיה אסטרטגיה $a$ .
אם שחקן 2 בחר לשחק את אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} , בחירת אסטרטגיה $a$ על ידי שחקן 1 היא תגובה טובה ביותר שתוביל לתועלת 12.
אם שחקן 2 בחר לשחק את אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , בחירת אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} היא תגובה טובה ביותר שתוביל לתועלת 2.

עתה, נסתכל על נקודת מבטו של שחקן 2, בהינתן האסטרטגיה של שחקן 1:

אם שחקן 1 בחר לשחק את אסטרטגיה $a$ , בחירה של שחקן 2 באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} תוביל לתועלת 4, בחירה באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} תוביל לתועלת 3, ובחירה באסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} תוביל לתועלת 2. לכן התגובה הטובה ביותר במקרה זה תהיה אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} .

אם שחקן 1 בחר לשחק את אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , נשים לב שיש כאן שתי אסטרטגיות העונות להגדרה של תגובה טובה ביותר. בחירת אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} על ידי שחקן 2 היא תגובה טובה ביותר שתוביל לתועלת 3.

אם שחקן 1 בחר לשחק את אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , בחירת אסטרטגיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} היא תגובה טובה ביותר שתוביל לתועלת 4.

הערה: מצב בו שני השחקנים בוחרים אסטרטגיות כך שכל אחת היא תגובה טובה ביותר לשנייה נקרא שיווי משקל נאש. בדוגמה שלנו יש שיווי משקל נאש: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{b,f\}} .

דינמיקה של תגובה טובה ביותר

דינמיקה של תגובה טובה ביותר היא תיאור של משחק סדרתי, בו כל שחקן משחק בתורו את התגובה הטובה ביותר בהתאם למצב המשחק הנוכחי. במשחק כזה כל שחקן עושה את הצעד הטוב ביותר עבורו בסיבוב הנוכחי, ללא התחשבות בעתיד המשחק. לכן, דינמיקה של תגובה טובה ביותר לא תמיד תוביל למצב של שיווי משקל טהור, אפילו אם הוא קיים. במשחקי פוטנציאל דינמיקה של תגובה טובה ביותר אכן תוביל לשיווי משקל נאש טהור.

דוגמה

במשחק הבא קיים שיווי משקל נאש עבור בחירת האסטרטגיות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{c,d\}} , אך אם נתחיל את דינמיקת התגובה הטובה ביותר מאחד התאים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{b,f\}} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a,d\}} , $\{a,f\}$ , או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{b,e\}} כל שחקן בתורו ירצה לעבור לאסטרטגיה טובה יותר - כזו בה התועלת שלו היא 1 ולא -1. כך השחקנים "יסתובבו" במעגל, ולא יגיעו אף פעם ל - עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{c,d\}} , שהיא נקודת שיווי משקל, ובעלת תועלות גבוהות יותר לשני השחקנים.


	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f}
$a$	0, 0	1, 1-	1-, 1
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}	0, 0	1-, 1	1, 1-
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c}	3, 3	0, 0	0, 0

אסטרטגיות מעורבות

אסטרטגיה מעורבת הינה תגובה טובה ביותר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iff} כל אחת מהאסטרטגיות בתומך שלה (כלומר, האסטרטגיות שהסתברותן גדולה מ-0) הינה תגובה טובה ביותר.

זאת משום שאם קיימת בתומך אסטרטגיה טהורה $s$ שאיננה תגובה טובה ביותר, נוכל ליצור אסטרטגיה מעורבת חדשה, שבה ההסתברות לקבלת $s$ היא 0, ולכל שאר האסטרטגיות בתומך נוסיף את חלקה הפורפורציונלי של $s$ . כך נקבל אסטרטגיה מעורבת שתועלתה גדולה יותר מזו המקורית.

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.