תמונה (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, תמונה של מורפיזם היא מורפיזם בעל תכונות מסוימות (אם קיים כזה), המכליל את מושג התמונה של פונקציה.

בקטגוריה C, מונומורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h : I \to Y} הוא תמונה של המורפיזם ${\displaystyle f:X\to Y}$, אם:

1. קיים מורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g : X \to I} כך ש f=hg.
2. לכל אובייקט Z ולכל מורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k : X \to Z} ומונומורפיזם ${\displaystyle l:Z\to Y}$ כך ש f=lk קיים מורפיזם יחיד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m : I \to Z} כך ש k=mg ו h=lm.

מן התכונה השנייה, הנקראת "אוניברסליות", נובע שאם התמונה קיימת אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם.

התמונה של f מסומנת לעיתים קרובות ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Im}(f)} .

דוגמאות

בקטגוריה של קבוצות התמונה של מורפיזם ${\displaystyle f:X\to Y}$ היא ההכלה של התמונה ${\displaystyle \{f(x)|x\in X\}}$ לתוך Y. בקטגוריות רבות, כגון הקטגוריה של חבורות, הקטגוריה של חבורות אבליות והקטגוריה של מודולים התמונה של מורפיזם היא התמונה של המורפיזם המתאים בקטגוריה של קבוצות (לאחר הפעלת הפונקטור השוכח).