תת-מודול גדול

בתורת המודולים, תת-מודול גדול (an essential submodule) של מודול נתון הוא מודול החותך באופן לא טריוויאלי כל תת-מודול אחר. במקרה זה, המודול נקרא הרחבה גדולה של תת-המודול. המודול הוא בעל משלימים עקרונית אם לכל תת-מודול מתאים תת-מודול נוסף (המכונה משלים עקרונית) כך שסכומם הישר הוא מודול גדול. מודולים גדולים מהווים כלי באפיון מודולים פשוטים למחצה.

יהי ${\displaystyle M}$ מודול מעל חוג ${\displaystyle R}$. תת-מודול ${\displaystyle N\leq M}$ נקרא גדול אם ${\displaystyle \forall N'\leq M:N\cup N\neq \{0\}}$. מסמנים זאת לרוב על ידי ${\displaystyle N\leq _{\ell }M}$.

אידאל (שמאלי) גדול הוא אידאל המהווה תת-מודול גדול כאשר מתייחסים לחוג כמודול (שמאלי) מעל עצמו.

מודול נקרא בעל משלימים אם לכל תת-מודול ${\displaystyle N\leq M}$ קיים תת-מודול ${\displaystyle N'\leq M}$ כך שסכומם הישר ${\displaystyle N\oplus N'}$ שווה לכל המודול; המודול נקרא בעל משלימים עקרונית אם הסכום הזה הוא מודול גדול. המשפט החשוב בנושא קובע כי תמיד לכל תת-מודול יש משלים עקרונית, כלומר כל מודול הוא בעל משלימים עקרונית.

מודול הוא פשוט למחצה אם ורק אם אין לו מודולים גדולים אמתיים.

ראו גם

• מודול פשוט למחצה
• תשתית
• מודול אינג'קטיבי
• מודול צפוף