אידאל מקסימלי

בתורת החוגים אידאל מקסימלי של חוג הוא אידאל שהוא מקסימלי ביחס לסדר ההכלה - כלומר, אינו מוכל באף אידאל גדול יותר (פרט לחוג עצמו). חוג המנה ביחס לאידאל מקסימלי הוא חוג פשוט, כלומר אין לו אף אידאל לא טריביאלי. במקרה הקומוטטיבי, חוג המנה הוא שדה.

לפי הלמה של צורן, כל אידאל בחוג עם יחידה (או אפילו חוג שיש בו אידמפוטנט שונה מאפס כלשהו) מוכל באידאל מקסימלי (זהו "משפט קרול", 1929). חוג שיש לו אידאל מקסימלי אחד בלבד נקרא חוג מקומי.

כל אידאל מקסימלי הוא אידאל ראשוני.

הגדרה פורמלית

יהי R חוג. I הוא אידאלי מקסימלי אם מתקיים:

1. ${\displaystyle \ I\subsetneqq R}$ הוא אידאל.
2. לא קיים אידאל ${\displaystyle \ J\subsetneqq R}$ כך ש- ${\displaystyle \ I\subsetneqq J}$

אידאלים חד-צדדיים

באותו אופן ניתן להגדיר אידאל שמאלי מקסימלי להיות אידאל שמאלי שאינו מוכל באף אידאל שמאלי אחר. זה שקול לכך שמודול המנה R/I הוא R-מודול שמאלי פשוט. (וכן לאידאלים ימניים).

לאידאלים שמאליים מקסימליים תפקיד חשוב בתורת המבנה של חוגים פרימיטיביים. חיתוך כל האידאלים השמאליים המקסימליים הוא הרדיקל של ג'ייקובסון.

דוגמאות

בחוגים בעלי ממד קרול 1 (ובפרט, בכל חוג דדקינד), כל אידאל ראשוני (שונה מאפס) הוא מקסימלי. לכן בחוג השלמים, האידאלים המקסימליים הם אלו הנוצרים על ידי מספרים ראשוניים.

אם F שדה סגור אלגברית, אז כל אידאל מקסימלי של האלגברה האפינית של הפולינומים ${\displaystyle \ F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}]}$ הוא מן הצורה ${\displaystyle \ \langle \lambda _{1}-a_{1},\dots ,\lambda _{n}-a_{n}\rangle }$; בשפה גאומטרית, פירושו של דבר שכל יריעה אפינית אי-פריקה ממימד 0 היא נקודה. אם n>1, לא כל אידאל ראשוני הוא מקסימלי.

דוגמה פתולוגית. בחוג ללא יחידה ${\displaystyle \ 2\mathbb {Z} }$, האידאל ${\displaystyle \ 4\mathbb {Z} }$ הוא מקסימלי, אבל חוג המנה הוא חוג בלי יחידה בן שני אברים, שבו הריבוע של כל איבר הוא 0 (ולכן זה אינו שדה).

מקורות

(באנגלית)